Matriz laplaciana

la matriz Laplaciana puede ser interpretada como una representación matricial de un caso particular del operador discreto de Laplace. Tal interpretación permite, por ejemplo, generalizar la matriz Laplaciana para el caso de gráficos con un número infinito de vértices y aristas, lo que conduce a una matriz laplaciana de un tamaño infinito.

d ϕ i d t = − k ∑ j i j ( ϕ i − ϕ j ) = − k ( ϕ i ∑ j a i j − ∑ j a i j ϕ j ) = − k ( ϕ i gr ⁡ ( v i ) − ∑ j a i j ϕ j ) = − k ∑ j ( δ i j deg ⁡ ( v i ) − i j ) ϕ j = − k ∑ j ( ℓ i j ) ϕ j ., {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\phi _{i}}{dt}}&=-k\am _{j}A_{ij}\left(\phi _{i}-\phi _{j}\derecho)\\&=-k\left(\phi _{i}\am _{j}A_{ij}-\am _{j}A_{ij}\phi _{j}\derecho)\\&=-k\left(\phi _{i}\ \deg(v_{i})-\I _{j}A_{ij}\phi _{j}\derecho)\\&=-k\am _{j}\left(\delta _{ij}\ \deg(v_{i})-A_{ij}\derecho)\phi _{j}\\&=-k\am _{j}\left(\ell _{ij}\derecho)\phi _{j}.,\end{aligned}}}

En la matriz-vector de la notación

d ϕ d t = − k ( D − A ) ϕ = − k L ϕ , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\phi }{dt}}&=-k(D-A)\phi \\&=-kL\phi\end{aligned}}}

que da

d ϕ d t + k L ϕ = 0. {\displaystyle {\frac {d \ phi} {dt}} + kL \ phi = 0 .}

observe que esta ecuación toma la misma forma que la ecuación de calor, donde la matriz-L está reemplazando al operador laplaciano 2 2 {\textstyle \nabla ^{2}}; por lo tanto, el «gráfico laplaciano».,

0 = d ( ∑ c i ( t ) v i ) d t + k L ( ∑ c i ( t ) v i ) = ∑ i = ∑ i ⇒ d c i ( t ) d t + k l i c i ( t ) = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {d\left(\sum _{i}c_{i}(t)\mathbf {v} _{i}\right)}{dt}}+kL\left(\sum _{i}c_{i}(t)\mathbf {v} _{i}\derecho)\\=&\sum _{i}\left\\=&\sum _{i}\left\\\Rightarrow &{\frac {dc_{i}(t)}{dt}}+k\lambda _{i}c_{i}(t)=0,\\\end{aligned}}}

cuya solución es

c i ( t ) = c i ( 0 ) e − k λ i t . {\displaystyle C_{i} (t) = c_{i}(0) E^{-k\lambda _{i}t}.,} c i ( 0 ) = ⟨ ϕ ( 0 ) , v i ⟩ {\displaystyle c_{i}(0)=\left\langle \phi (0),\mathbf {v} _{i}\right\rangle } .

en el caso de gráficos no dirigidos, esto funciona porque L {\textstyle l} es simétrico, y por el teorema espectral, sus vectores propios son todos ortogonales. Así que la proyección sobre los vectores propios de l {\textstyle l} es simplemente una transformación de coordenadas ortogonales de la condición inicial a un conjunto de coordenadas que decaen exponencialmente e independientemente unas de otras.,

Equilibrio behaviorEdit

lim t → ∞ e − k λ i t = { 0 si λ i > 0 1 si λ i = 0 } {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{-k\lambda _{i}t}=\left\{{\begin{array}{rlr}0&{\text{si}}&\lambda _{i}>0\\1&{\text{si}}&\lambda _{i}=0\end{array}}\derecho\}}

En otras palabras, el estado de equilibrio del sistema se determina por completo el núcleo de L {\estilo de texto L} .,

La consecuencia de esto es que para una determinada condición inicial c ( 0 ) {\estilo de texto c(0)} para un grafo con N {\estilo de texto N} vértices

lim t → ∞ ϕ ( t ) = ⟨ c ( 0 ) , v 1 ⟩ v 1 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\phi (t)=\left\langle c(0),\mathbf {v^{1}} \right\rangle \mathbf {v^{1}} }

donde

v 1 = 1 N {\displaystyle \mathbf {v^{1}} ={\frac {1}{\sqrt {N}}}} lim t → ∞ ϕ j ( t ) = 1 N ∑ i = 1 N c i ( 0 ) {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\phi _{j}(t)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}c_{i}(0)} .,

En otras palabras, en estado estacionario, el valor de Text {\textstyle \phi } converge al mismo valor en cada uno de los vértices del gráfico, que es el promedio de los valores iniciales en todos los vértices. Dado que esta es la solución a la ecuación de difusión de calor, esto tiene perfecto sentido intuitivamente. Esperamos que los elementos vecinos en el gráfico intercambiarán energía hasta que esa energía se extienda uniformemente a través de todos los elementos que están conectados entre sí.,

ejemplo del operador en una gridEdit