a pesar de que los matemáticos han pasado más de 2.000 años diseccionando la estructura de los cinco sólidos platónicos — el tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro — todavía hay mucho que no sabemos sobre ellos.
Ahora, un trío de matemáticos ha resuelto una de las preguntas más básicas sobre el dodecaedro.
supongamos que estás en una de las esquinas de un sólido platónico., ¿Hay algún camino recto que puedas tomar que eventualmente te devuelva a tu punto de partida sin pasar por ninguna de las otras esquinas? Para los cuatro sólidos platónicos construidos a partir de cuadrados o triángulos equiláteros — el cubo, el tetraedro, el octaedro y el icosaedro — los matemáticos descubrieron recientemente que la respuesta es no. Cualquier camino recto que comience desde una esquina llegará a otra esquina o se enrollará para siempre sin regresar a casa. Pero con el dodecaedro, que está formado por 12 pentágonos, los matemáticos no sabían qué esperar.,
Ahora Jayadev Athreya, David Aulicino y Patrick Hooper han demostrado que un número infinito de tales caminos de hecho existen en el dodecaedro. Su artículo, publicado en mayo en Experimental Mathematics, muestra que estos caminos se pueden dividir en 31 familias naturales.
la solución requería técnicas modernas y algoritmos informáticos., «Hace veinte años, estaba absolutamente fuera de alcance; hace 10 años requeriría un enorme esfuerzo de escribir todo el software necesario, por lo que solo ahora todos los factores se unieron», escribió Anton Zorich, del Instituto de matemáticas de Jussieu en París, en un correo electrónico.
el proyecto comenzó en 2016 cuando Athreya, de la Universidad de Washington, y Aulicino, de Brooklyn College, comenzaron a jugar con una colección de recortes de cartas que se pliegan en los sólidos platónicos., A medida que construían los diferentes sólidos, se le ocurrió a Aulicino que un cuerpo de investigaciones recientes sobre geometría plana podría ser justo lo que necesitarían para entender los caminos rectos en el dodecaedro. «Estábamos literalmente juntando estas cosas,» dijo Athreya. «Así que fue una especie de exploración ociosa encuentra una oportunidad.»
junto con Hooper, del City College de Nueva York, Los investigadores descubrieron cómo clasificar todos los caminos rectos de una esquina hacia sí mismos que evitan otras esquinas.
su análisis es «una solución elegante», dijo Howard Masur de la Universidad de Chicago., «Es una de estas cosas donde puedo decir, sin ninguna duda, ‘¡Dios, Oh, ojalá hubiera hecho eso!'»
simetrías ocultas
aunque los matemáticos han especulado sobre caminos rectos en el dodecaedro durante más de un siglo, ha habido un resurgimiento del interés en el tema en los últimos años tras las ganancias en la comprensión de «superficies de traducción.,»Se trata de superficies formadas por pegar lados paralelos de un polígono, y han resultado útiles para estudiar una amplia gama de temas relacionados con caminos rectos en formas con esquinas, desde trayectorias de mesas de billar hasta la cuestión de cuándo una sola luz puede iluminar toda una habitación con espejos.
en todos estos problemas, la idea básica es desenrollar su forma de una manera que haga que los caminos que está estudiando sean más simples. Así que para entender los caminos rectos en un sólido platónico, podrías empezar cortando los bordes suficientes para que el sólido quede plano, formando lo que los matemáticos llaman una red., Una red para el cubo, por ejemplo, es una forma de T hecha de seis cuadrados.
Imagine que hemos aplanado el dodecaedro, y ahora estamos caminando a lo largo de esta forma plana en alguna dirección elegida. Eventualmente llegaremos al borde de la red, momento en el que nuestro camino saltará a un pentágono diferente (el que estuviera pegado a nuestro Pentágono actual antes de abrir el dodecaedro). Cada vez que el camino Salta, también gira por algún múltiplo de 36 grados.,
para evitar todo este salto y rotación, cuando golpeamos un borde de la red, podríamos pegar una nueva copia rotada de la red y continuar directamente en ella. Hemos añadido algo de redundancia: ahora tenemos dos pentágonos diferentes que representan cada Pentágono en el dodecaedro original. Así que hemos hecho nuestro mundo más complicado, pero nuestro camino se ha vuelto más simple. Podemos seguir agregando una nueva red cada vez que necesitamos expandirnos más allá del borde de nuestro mundo.,
en el momento en que nuestro camino ha viajado a través de 10 Redes, hemos girado nuestra red original a través de cada múltiplo posible de 36 grados, y la próxima red que agreguemos tendrá la misma orientación que la que comenzamos. Eso significa que esta red 11 está relacionada con la original por un simple cambio – lo que los matemáticos llaman una traducción. En lugar de pegar en una red 11, Simplemente podríamos pegar el borde de la red 10 al borde paralelo correspondiente en la red original., Nuestra forma ya no estará plana sobre la mesa, pero los matemáticos piensan que todavía «recuerda» la geometría plana de su encarnación anterior, por lo que, por ejemplo, los caminos se consideran rectos si eran rectos en la forma no pegada. Después de que hacemos todas Tales pegamentos posibles de los bordes paralelos correspondientes, terminamos con lo que se llama una superficie de traslación.
la superficie resultante es una representación altamente redundante del dodecaedro, con 10 copias de cada Pentágono. Y es mucho más complicado: se pega en forma de rosquilla con 81 agujeros., Sin embargo, esta forma complicada permitió a los tres investigadores acceder a la rica teoría de las superficies de traducción.
para abordar esta superficie gigante, los matemáticos se arremangaron, figurativa y literalmente. Después de trabajar en el problema durante unos meses, se dieron cuenta de que la superficie de la rosquilla de 81 agujeros forma una representación redundante no solo del dodecaedro, sino también de una de las superficies de traducción más estudiadas., Llamado el doble Pentágono, se hace uniendo dos pentágonos a lo largo de un solo borde y luego pegando lados paralelos para crear una rosquilla de dos agujeros con una rica colección de simetrías.
esta forma también estaba tatuada en el brazo de Athreya. «El doble Pentágono era algo que yo ya conocía y amaba», dijo Athreya, quien se hizo el tatuaje un año antes de que él y Aulicino comenzaran a pensar en el dodecaedro.
debido a que el doble Pentágono y el dodecaedro son primos geométricos, el alto grado de simetría del primero puede dilucidar la estructura del segundo., Es una» increíble simetría oculta», dijo Alex Eskin de la Universidad de Chicago (quien fue el asesor doctoral de Athreya hace unos 15 años). «El hecho de que el dodecaedro tenga este grupo de simetría oculta es, creo, bastante notable.”