Desviaciones al cuadrado de la media

en la situación donde los datos están disponibles para k diferentes grupos de tratamiento que tienen tamaño ni donde i varía de 1 A k, entonces se asume que la media esperada de cada grupo es

E ⁡ ( μ i ) = μ + T i {\displaystyle \operatorname {E} (\mu _{i})=\mu +T_{i}}

y la varianza de cada grupo de tratamiento no varianza poblacional σ 2 {\displaystyle \Sigma ^{2}} .,

bajo la hipótesis nula de que los tratamientos no tienen efecto, entonces cada uno de los T i {\displaystyle T_{i}} será cero.,i ) {\displaystyle T=\sum _{i=1}^{k}\left(\left(\sum x\right)^{2}/n_{i}\right)} E ⁡ ( T ) = k σ 2 + ∑ i = 1 k n i ( μ + T i ) 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(\mu +T_{i})^{2}} E ⁡ ( T ) = k σ 2 + n µ 2 + 2 µ ∑ i = 1 k ( n i T i ) + ∑ i = 1 k n i ( T i ) 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}+2\mu \sum _{i=1}^{k}(n_{i}T_{i})+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(T_{i})^{2}}

Bajo la hipótesis nula de que los tratamientos no causan diferencias y todo el T i {\displaystyle T_{i}} son cero, la expectativa de que se simplifica a

E ⁡ ( T ) = k σ 2 + n µ 2 ., {\displaystyle \operatorname {E} (T) = k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}.,C) = \sigma ^{2}+n\mu ^{2}}

sumas de desviaciones cuadradasedit

e ⁡ ( i − C)=(n − 1) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (I-C) = (n-1)\sigma ^{2}} desviaciones cuadradas totales aka suma total de cuadrados E ⁡ ( T − C)=(k − 1) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T-C) = (k-1)\sigma ^{2}} desviaciones al cuadrado de tratamiento aka suma explicada de cuadrados e ⁡ ( i − t)=(n − k) σ 2 {\displaystyle \operatorname {e} (i-t) = (n-k)\Sigma ^{2}} desviaciones al cuadrado residuales aka suma Residual de cuadrados

las constantes (n − 1), (K − 1) y (N − K) normalmente se conocen como el número de grados de libertad.,

ExampleEdit

en un ejemplo muy simple, 5 Observaciones surgen de dos tratamientos. El primer tratamiento da tres valores 1, 2 y 3, y el segundo tratamiento da dos valores 4 y 6.

I = 1 2 1 + 2 2 1 + 3 2 1 + 4 2 1 + 6 2 1 = 66 {\displaystyle I={\frac {1^{2}}{1}}+{\frac {2^{2}}{1}}+{\frac {3^{2}}{1}}+{\frac {4^{2}}{1}}+{\frac {6^{2}}{1}}=66} T = ( 1 + 2 + 3 ) 2 3 + ( 4 + 6 ) 2 2 = 12 + 50 = 62 {\displaystyle T={\frac {(1+2+3)^{2}}{3}}+{\frac {(4+6)^{2}}{2}}=12+50=62} C = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 6 ) 2 5 = 256 / 5 = 51.2 {\displaystyle C={\frac {(1+2+3+4+6)^{2}}{5}}=256/5=51.,2}

dando

desviaciones totales al cuadrado = 66-51.2 = 14.8 con 4 grados de libertad. Desviaciones al cuadrado del tratamiento = 62-51.2 = 10.8 con 1 grado de libertad. Desviaciones al cuadrado Residual = 66-62 = 4 con 3 grados de libertad.

análisis bidireccional de varianciaeditar

el siguiente ejemplo hipotético da los rendimientos de 15 plantas sujetas a dos variaciones ambientales diferentes y tres fertilizantes diferentes.,

Cinco sumas de cuadrados se calculan:

por último, las sumas de los cuadrados de las desviaciones necesarias para el análisis de la varianza se puede calcular.,