la exponenciación es una operación matemática que involucra dos números, la base x x.y el exponente a a.. Cuando a a is es un entero positivo, la exponenciación corresponde a la multiplicación repetida de la base.
Por definición, cada número que tiene 0 como su exponente es igual a 1. Esto significa que, no importa cuán grande sea la base, si su exponente es igual a 0, ese número siempre es igual a 1.,
Cada número que no tiene un exponente adjunto, en realidad tiene el número 1 como su exponente. El número 1 es el exponente predeterminado de cada número, por lo que no es necesario escribirlo, pero en algunas tareas puede ser útil hacerlo.
uno multiplicado por uno es siempre uno, no importa cuántas veces repita la multiplicación, por lo que 1 a cualquier potencia siempre es igual a 1.,
exponentes Negativos
Si el exponente es un entero positivo, la exponenciación corresponde a la multiplicación repetida de la base, entonces, ¿qué significa si el exponente es un entero negativo? El valor recíproco de la base es que se utiliza para convertir el exponente negativo en un positivo.
$a^{-n}=(a^{-1})^n=\left(\frac{1}{a}\derecho)^n=\frac{1}{a^n}$
de La misma va al revés. Si un desconocido está en el denominador, el denominador puede convertirse en un numerador cambiando el signo del exponente., En algunos casos, esto demostrará ser una característica muy útil, especialmente cuando se trabaja con números y funciones inversos.
Ejemplo 1: Escribir estas expresiones usando sólo exponentes positivos:
a) $a^{-7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}$
c) $\frac{-12x^{-6}y^{-9}}{z^3}$
Solución:
a) $a^{-7}=\frac{1}{a^7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}=\frac{-6}{x^1 \cdot y^5}=\frac{-6}{xy^5}$
c) $\frac{-12x^{-6}y^{-9}}{z^3} = \frac{-12}{x^6 \cdot y^9 \cdot z^3}$
Además
¿Cómo hace uno para sumar o restar los exponentes?,
la mayoría de las tareas interesantes implican unkowns, pero las mismas reglas se aplican a ellos.
veamos una simple ecuación:
Desde $\ x = x^1$ y $\ 1 = x^0$ podemos escribir la ecuación como esta:
¿Cómo suele resolverlo? Las variables con $x are se agregan por separado, y las variables por separado sin $x..,
The same will apply to larger exponents:
$\ x^{12} + 3 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2} = 4 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2}$
Example 2: Add exponents
resta
las mismas reglas que se aplican a la adición de exponentes, también se aplican a la resta.
solo se pueden restar números que tienen incógnitas con el mismo exponente.
Ejemplo 3: restar exponentes:
$ 4x^{12} – 0.25 x^4 + 2x^2-3x^2-3x^{12} = ?$
Solución:
$ (4x^{12} – 3x^{12}) – 0.25\cdot {x^4} + (2x^2 – 3x^2) = x^{12} – 0.25\cdot {x^4} – x^2$
la Multiplicación
Hay dos reglas básicas para la multiplicación de los exponentes.,
La primera regla-si las bases son las mismas, sus exponentes se suman.
Por ejemplo: $\ 2^{-2} \cdot {2^{-3}} = 2^{- 2 – 3} = 2^{-5} = \left(\frac{1}{2}\right)^5$.
la segunda regla-si las bases son diferentes, pero los exponentes son los mismos, las bases se multiplican y los exponentes siguen siendo los mismos.
Por ejemplo: $\ 2^2 \cdot {3^2} = (2 \cdot {3})^2 = 6^2$.
Ejemplo 4:
$ 2^2 \cdot {4^2} = ?,Solution
solución:
para multiplicar dos exponentes, su base o sus exponentes deben ser los mismos. En este ejemplo, tampoco es el caso. Por lo tanto, el primer paso es, siempre que sea posible, convertir cada número a la base más baja. En este ejemplo el número 4 4 can se puede escribir como $2^2^.
2 2^2 \ cdot {(2^2)^2} = ?$
El cuadrado representa el número multiplicado por sí mismo, así que $\ (2^2)^2$ puede ser escrito como $\ 2^2 \cdot {2^2} = 2^{2 + 2} = 2^4$.,
From Example 4, this generalisation can be made:
Final solution: $\ 2^2 \cdot {4^2}= 2^2 \cdot {(2^2)^2} = 2^2 \cdot {2^4} = 2^{2+4} = 2^6$.
Example 5:
$ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot {0.2^2} = ?,$
Solución:
$$=\left (\frac{2}{3}\derecho)^2 \cdot \left (\frac{2}{10}\derecho)^2$$
$$=\left (\frac{2}{3}\derecho)^2 \cdot\left (\frac{1}{5}\derecho)^2$$
$$= \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}\derecho)^2 $$
$$= \left(\frac{2}{15}\derecho)^2$$
Ejemplo 6:
$\ (x^2 y^3)(x^5 y^4 )$
Solución:
la Multiplicación es asociativa, por lo que el orden de los soportes de no hacer una diferencia. Los factores con las mismas bases se multiplican como se explicó anteriormente, por lo que se suman sus exponentes.,
$ (x^2 \cdot y^3)(x^5 \cdot y^4) = x^2 \cdot x^5 \cdot y^3 \cdot y^4 = x^7 \cdot y^7 = (xy)^7$
División
Como para la multiplicación, hay dos reglas básicas para la división de los exponentes.
La primera regla-cuando las bases son las mismas, sus exponentes se restan.
Por ejemplo: $\ 2^2 : 2 = \frac{2^2}{2} = 2^{2 – 1} = 2^1 = 2$, que pueden ser fácilmente controlados desde $4 : 2 = 2$.
Por ejemplo: $\ 2^{-2} : 2^{-1} =\frac{2^{-2}}{2^{-1} }= 2^{-2-(-1)} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.,
la segunda regla-si las bases son diferentes, pero los exponentes son los mismos, las bases se dividen y los exponentes siguen siendo los mismos.
Por ejemplo: $\ 2^2 : 3^2 = \frac{2^2}{3^2 } = (2 : 3)^2 = \left(\frac{2}{3}\derecho)^2$.
Ejemplo 7:
$\frac{4^2}{4^3} + \frac{1}{2} = ?$
Solución:
$\frac{4^2}{4^3} + \frac{1}{2} = 4^{2 – 3} + \frac{1}{2} = 4^{-1} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1 + 2}{4} = \frac{3}{4}$
en el Ejemplo 8:
$\frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot {4} + \frac{1}{2} \cdot {2^8} = ?,$
Solución:
$\frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 2^8 = 4^{5 – (-2)} – \frac{2}{10} \cdot 4 + \frac{2^8}{2^1} = 4^{5 + 2} – \frac{1}{5} \cdot 4 + 2^{8 – 1} = 4^7 – \frac{4}{5} + 2^7$
en el Ejemplo 9:
$\frac{18x^5^6a^2}{6xy^2a^5} = ?Solution
solución:
\\frac{18x^5y^6a^2}{6xy^2a^5} = 3x^{5 – 1}y^{6 – 2}a^{2 – 5} = 3x^4y^4a^{-3} = \ frac{3x^4y^4}{a^3}
Si, como en este ejemplo, una tarea implica solo división y multiplicación, la fracción se puede dividir en dos fracciones más pequeñas.,
$\frac{x^2y^3 + x^5y}{xy} = \frac{x^2y^3}{xy} + \frac{x^5y}{xy} = xy^2 + x^4$
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