Rene Descartes wurde gutgeschrieben, mit der Entdeckung der Rational Root Theorem. Quelle.
Eine kurze Erklärung und Beweis
Der rationale Wurzelsatz (RRT) ist ein praktisches Werkzeug in Ihrem mathematischen Arsenal zu haben. Es bietet und schnellen und schmutzigen Test für die Rationalität einiger Ausdrücke. Und es hilft, rationale Wurzeln von Polynomen zu finden.,
Hier ist, wie und warum es funktioniert.,e53714″>
Wie
Angenommen, Sie haben ein Polynom des Grades n mit ganzzahligen Koeffizienten:
Der rationale Wurzelsatz besagt: Wenn eine rationale Wurzel existiert, teilen ihre Komponenten den ersten und letzten Koeffizienten:
Die rationale Wurzel wird in niedrigsten Begriffen ausgedrückt., Das bedeutet, dass p und q keine gemeinsamen Faktoren haben. (Das wird später wichtig sein.) Der Zähler teilt die Konstante am Ende des Polynoms; der Demominator teilt den führenden Koeffizienten.
Als beispiel:
Wir brauchen nur blick auf die 2 und die 12.,:
The factors of 2:
Thus, if a rational root does exist, it’s one of these:
Plug each of these into the polynomial., Which one(s) — if any solve the equation? If none do, there are no rational roots.
Are any cube roots of 2 rational? A rational root, p/q must satisfy this equation.
Furthermore:
Not one of these candidates qualifies., Springen Sie zu:
Das Warum
Gehen wir zurück zu unserem Paradigma polynom.,
Scoot the constant to the other side:
Now, plug in our rational root, p/q.,
Multiplizieren Sie alles mit qⁿ:
Jeder Begriff auf der linken Seite hat p gemeinsam. Faktor, dass aus.,
Es sieht viel schlimmer aus als es sein muss. Lassen Sie uns all das Zeug in Klammern durch ein s ersetzen. Es ist uns egal, was da drin ist.
Das ist viel einfacher auf die Augen.
denken Sie Daran, dass p und q ganze zahlen sind. Sie teilen auch keine gemeinsamen Faktoren., Daher kann p qⁿ nicht teilen. Es muss teilen a₀:
Also, der Zähler teilt den Konstanten term.
Kehren Sie nun zu unserem Paradigmenpolynom zurück:
Diesmal ist das schlechte der erste Begriff auf der rechten Seite.,
Insert the rational root:
As before, multiply by qⁿ.
This time, the common factor on the left is q., Let’s extract it, and lump together the remaining sum as t.
