Exponentiation ist eine mathematische Operation mit zwei Zahlen, der Basis $x$ und dem Exponenten $a$. Wenn $a$ eine positive Ganzzahl ist, entspricht die Exponentiation der wiederholten Multiplikation der Basis.
Per Definition ist jede Zahl mit 0 als Exponent gleich 1. Dies bedeutet, dass, egal wie groß die Basis ist, wenn ihr Exponent gleich 0 ist, diese Zahl immer gleich 1 ist.,
Jede Zahl, an die kein Exponent angehängt ist, hat tatsächlich die Zahl 1 als Exponent. Die Zahl 1 ist der Standardexponent jeder Zahl, daher ist es nicht erforderlich, sie aufzuschreiben, aber bei einigen Aufgaben kann dies hilfreich sein.
Eins multipliziert mit eins ist immer eins, egal wie oft Sie die Multiplikation wiederholen, also ist 1 zu jeder Potenz immer gleich 1.,
Negative Exponenten
Wenn der Exponent eine positive Ganzzahl ist, entspricht die Exponentiation der wiederholten Multiplikation der Basis. Der reziproke Wert der Basis wird dann verwendet, um den negativen Exponenten in einen positiven zu verwandeln.
$a^{-n}=(a^{-1})^n=\left(\frac{1}{a}\right)^n=\frac{1}{a^n}$
Das gleiche geht auch Umgekehrt. Wenn ein Unbekannter im Nenner ist, kann der Nenner ein Zähler werden, indem das Vorzeichen des Exponenten geändert wird., In einigen Fällen wird sich dies als sehr nützliches Merkmal erweisen, insbesondere wenn mit inversen Zahlen und Funktionen gearbeitet wird.
Beispiel 1: Schreiben Sie diese Ausdrücke nur mit positiven Exponenten:
a) $a^{-7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}$
c) $\frac{-12x^{-6}y^{-9}}{z^3}$
Lösung:
a) $a^{-7}=\frac{1}{a^7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}=\frac{-6}{x^1 \cdot y^5}=\frac{-6}{xy^5}$
c) $\frac{-12x^{-6}y^{-9}}{z^3} = \frac{-12}{x^6 \cdot y^9 \cdot z^3}$
Addition
Wie addiert oder subtrahiert man Exponenten?,
Die interessantesten Aufgaben beinhalten Unkowns, aber die gleichen Regeln gelten für sie.
Schauen wir uns eine einfache Gleichung an:
Seit $\ x = x^1$ und $\ 1 = x^0$ können wir unsere Gleichung so schreiben:
Wie würden Sie es normalerweise lösen? Die Variablen mit $x$ werden separat und separat Variablen ohne $x$hinzugefügt.,
The same will apply to larger exponents:
$\ x^{12} + 3 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2} = 4 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2}$
Example 2: Add exponents
Subtraktion
Die gleichen Regeln, die für das hinzufügen von Exponenten gelten die Subtraktion als gut.
Sie können nur Zahlen subtrahieren, die Unbekannte mit dem gleichen Exponenten haben.
Beispiel 3: Subtrahieren Sie Exponenten:
$ 4x^{12} – 0.25 x^4 + 2x^2 – 3x^2 – 3x^{12} = ?$
Lösung:
$ (4x^{12} – 3x^{12}) – 0.25\cdot {x^4} + (2x^2 – 3x^2) = x^{12} – 0.25\cdot {x^4} – x^2$
Multiplikation
Es gibt zwei grundlegende Regeln, die für die Multiplikation der Exponenten.,
Die erste Regel – wenn Basen gleich sind, werden ihre Exponenten addiert.
Zum Beispiel: $\ 2^{-2} \cdot {2^{-3}} = 2^{- 2 – 3} = 2^{-5} = \left(\frac{1}{2}\right)^5$.
Die zweite Regel – wenn Basen unterschiedlich sind, aber Exponenten gleich sind, werden Basen multipliziert und Exponenten bleiben gleich.
Zum Beispiel: $\ 2^2 \cdot {3^2} = (2 \cdot {3})^2 = 6^2$.
Beispiel 4:
$ 2^2 \cdot {4^2} = ?,$
Lösung:
Um zwei Exponenten zu multiplizieren, müssen ihre Basis oder ihre Exponenten gleich sein. In diesem Beispiel ist beides nicht der Fall. Der erste Schritt besteht also darin, nach Möglichkeit jede Zahl auf die niedrigste Basis zu stellen. In diesem Beispiel kann die Zahl $4$ als $2^2$geschrieben werden.
$ 2^2 \cdot {(2^2)^2} = ?$
Das Quadrat repräsentiert die Zahl multipliziert mit sich selbst.$\ (2^2)^2$ kann als $\ 2^2 \cdot geschrieben werden {2^2} = 2^{2 + 2} = 2^4$.,
From Example 4, this generalisation can be made:
Final solution: $\ 2^2 \cdot {4^2}= 2^2 \cdot {(2^2)^2} = 2^2 \cdot {2^4} = 2^{2+4} = 2^6$.
Example 5:
$ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot {0.2^2} = ?,$
Lösung:
$$=\left (\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left (\frac{2}{10}\right)^2$$
$$=\left (\frac{2}{3}\right)^2 \cdot\left (\frac{1}{5}\right)^2$$
$$= \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}\right)^2 $$
$$= \left(\frac{2}{15}\right)^2$$
Beispiel 6:
$\ (x^2 y^3)(x^5 y^4 )$
Lösung:
Die Multiplikation ist assoziativ, sodass die Reihenfolge der Klammern keinen Unterschied macht. Die Faktoren mit denselben Basen werden wie zuvor erläutert multipliziert, sodass ihre Exponenten hinzugefügt werden.,
$ (x^2 \cdot y^3)(x^5 \cdot y^4) = x^2 \cdot x^5 \cdot y^3 \cdot y^4 = x^7 \cdot y^7 = (xy)^7$
Geschäftsbereich
Wie für die Multiplikation gibt es zwei grundlegende Regeln für die Aufteilung Exponenten.
Die erste Regel – wenn Basen gleich sind, werden ihre Exponenten subtrahiert.
Zum Beispiel: $\ 2^2 : 2 = \frac{2^2}{2} = 2^{2 – 1} = 2^1 = 2$, das kann leicht überprüft werden, da $4 : 2 = 2$.
Zum Beispiel: $\ 2^{-2} : 2^{-1} =\frac{2^{-2}}{2^{-1} }= 2^{-2-(-1)} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.,
Die zweite Regel – wenn Basen unterschiedlich sind, aber Exponenten gleich sind, werden Basen geteilt und die Exponenten bleiben gleich.
Zum Beispiel: $\ 2^2 : 3^2 = \frac{2^2}{3^2 } = (2 : 3)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2$.
Beispiel 7:
$\frac{4^2}{4^3} + \frac{1}{2} = ?$
Lösung:
$\frac{4^2}{4^3} + \frac{1}{2} = 4^{2 – 3} + \frac{1}{2} = 4^{-1} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1 + 2}{4} = \frac{3}{4}$
Beispiel 8:
$\frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot {4} + \frac{1}{2} \cdot {2^8} = ?,$
Lösung:
$\frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 2^8 = 4^{5 – (-2)} – \frac{2}{10} \cdot 4 + \frac{2^8}{2^1} = 4^{5 + 2} – \frac{1}{5} \cdot 4 + 2^{8 – 1} = 4^7 – \frac{4}{5} + 2^7$
Beispiel 9:
$\frac{18x^5y^6a^2}{6xy^2a^5} = ?$
Lösung:
$\frac{18x^5y^6a^2}{6xy^2a^5} = 3x^{5-1}y^{6-2}a^{2-5} = 3x^4y^4a^{-3} = \frac{3x^4y^4}{a^3}$
Wenn, wie in diesem Beispiel, eine Aufgabe nur Division und Multiplikation beinhaltet, kann der Bruch in zwei kleinere Brüche unterteilt werden.,
$\frac{x^2y^3 + x^5y}{xy} = \frac{x^2y^3}{xy} + \frac{x^5y}{xy} = xy^2 + x^4$
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