Lydstyrke nøgletal for en kegle, kugle og cylinder af samme radius og heightEdit
En kegle, kugle og cylinder med radius r og højden h
ovenstående formler kan bruges til at vise, at volumen af en kegle, kugle og cylinder af samme radius og højde er i forholdet 1 : 2 : 3, som følger.,
Lad radius r og højden være h (som er 2r for den sfære), så mængden af kegle
1 3 π r 2 h = 1 3 π f 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 1 , {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}t={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\left(2r\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\gange 1,}
den volumen af kuglen
4 3 π r 3 = ( 2 3 π r 3 ) × 2 , {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\gange 2,}
mens volumen af cylinder
π r 2 t = π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 3., {\displaystyle \pi r^{2}h=\pi r^{2} (2r)=\venstre ({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\højre)\gange 3.}
opdagelsen af forholdet 2 : 3 mellem volumener af kuglen og cylinderen krediteres Archimedes.
Volume formula derivationsEdit
SphereEdit
volumenet af en kugle er integralet af et uendeligt antal uendeligt små cirkulære diske med tykkelse d.. Beregningen for volumenet af en kugle med center 0 og radius r er som følger.den cirkulære disks overfladeareal er π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} .,
radius af den cirkulære diske, der er defineret sådan, at x-aksen skærer vinkelret gennem dem, er
y = r 2 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}
eller
z = r 2 − x 2 {\displaystyle z={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}
hvor y eller z kan siges at repræsentere den radius af en disk på en bestemt x-værdi.
Ved hjælp af y som diskradius kan kuglens volumen beregnes som
− − r R y Y 2 d. = − – r R ((R 2-2 2 ) d.. {\displaystyle \int _{-r}^{r}\pi y^{2}\,dx=\int _{-r}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)\,dx.,}
nu
− − r R π r 2 D. − − − r r π 2 2 d==. (r 3 + r 3) – 3 3 ( r 3 + r 3) = 2 r R 3-2. r 3 3. {\displaystyle \int _{-r}^{r}\pi r^{2}\,dx-\int _{-r}^{r}\pi x^{2}\,dx=\pi \left(r^{3}+r^{3}\right)-{\frac {\pi }{3}}\left(r^{3}+r^{3}\right)=2\pi r^{3}-{\frac {2\pi-r^{3}}{3}}.}
kombinere udbytter V = 4 3 π r 3 . {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}
denne formel kan udledes hurtigere ved hjælp af formlen for kuglens overfladeareal, som er 4 r R 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} ., Kuglens volumen består af lag af uendeligt tynde sfæriske skaller, og kuglevolumenet er lig med
0 0 R 4 r R 2 d R = 4 3 r R 3 . {\displaystyle \int _{0}^{f}4\pi r^{2}\,dr={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}
ConeEdit
keglen er en type pyramideform. Den grundlæggende ligning for pyramider, en tredjedel gange base gange Højde, gælder for kegler samt.
Ved hjælp af beregning er volumenet af en kegle imidlertid integralet af et uendeligt antal uendeligt tynde cirkulære diske med tykkelse d.., Beregningen for volumenet af en kegle med højde h, hvis base er centreret ved (0, 0, 0) med radius r, er som følger.
radius for hver cirkulær disk er r, hvis if = 0 og 0, hvis. = h, og varierer lineært imellem—det vil sige
r h−. h. lad os se, hvad der sker.}
overfladearealet af den cirkulære disk er derefter
π ( r H − h h ) 2 = 2 r 2 ( h − 2 ) 2 h 2 . {\displaystyle \ pi\venstre(r {\frac {h-{} {h}}\højre)^{2}=\pi r^{2} {\frac {(H -.)^{2}} {H^{2}}}.,}
rumfang af kegle kan derefter beregnes som
∫ 0 h π f 2 ( t − x ) 2 h 2 d x , {\displaystyle \int _{0}^{h}\pi r^{2}{\frac {(t-x)^{2}}{t^{2}}}dx}
og efter udvinding af konstanter
π r 2 h 2 ∫ 0 h ( t − x ) 2 d x {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{t^{2}}}\int _{0}^{h}(t-x)^{2}dx}
ntegrere giver os
π r 2 h 2 h 3 3 ) = 1 3 π r 2 h . {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{t^{2}}}\left({\frac {h^{3}}{3}}\højre)={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.}