Momentum (Dansk)

Momentum er en vektormængde: den har både størrelse og retning. Da momentum har en retning, kan den bruges til at forudsige den resulterende retning og bevægelseshastighed for objekter, efter at de kolliderer. Nedenfor beskrives de grundlæggende egenskaber ved momentum i en dimension. Vektorligningerne er næsten identiske med de skalære ligninger (se flere dimensioner).

Enkeltpartikel

en partikels momentum er konventionelt repræsenteret af bogstavet p., Det er produktet af to mængder, partiklens masse (repræsenteret ved bogstavet m) og dens hastighed (v):

p = m v . {\displaystyle p=mv.}

momentumenheden er produktet af masseenhederne og hastigheden. I SI-enheder, hvis massen er i kg og hastigheden er i meter per sekund, er momentumet i kilogram meter per sekund (kg⋅m/s). I cgs-enheder, hvis massen er i gram og hastigheden i centimeter pr.

at være en vektor, momentum har størrelse og retning., For eksempel har et 1 kg modelfly, der rejser ret nord ved 1 m/s i lige og plan flyvning, et momentum på 1 kg⋅m/s ret nord målt med henvisning til jorden.

mange partikler

fremdriften af et system af partikler er vektor summen af deres momenta. Hvis to partikler har respektive masser m1 og m2 og hastigheder v1 og v2, er det samlede momentum

p = p 1 + p 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle {\begin{justeret}p&=p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.,\end{aligned}}}

momenta på mere end to partikler kan tilføjes mere generelt med følgende:

p=. I m i V i. {\displaystyle p= \ sum _ {i}m_{i}v_{i}.}

et system af partikler har et massecenter, et punkt bestemt af den vægtede sum af deres positioner:

r cm = m 1 r 1 + m 2 r 2+. m 1 + m 2+.=. I m i r I. I m i. {\displaystyle r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum \grænser _{i}m_{jeg}r_{jeg}}{\sum \grænser _{i}m_{jeg}}}.,}

Hvis en eller flere af partiklerne bevæger sig, vil midten af massen af systemet generelt også bevæge sig (medmindre systemet er i ren rotation omkring det). Hvis partiklernes samlede masse er m {\displaystyle m}, og massens centrum bevæger sig med hastighed vcm, er systemets momentum:

p = m v cm . {\displaystyle p=mv_{\te .t{cm}}.}

Dette er kendt som Eulers første lov.

forhold til kraft

Hvis den netkraft F, der påføres en partikel, er konstant og påføres i et tidsintervaltt, ændres partiklens momentum med en mængde

. p = f t t., {\displaystyle \Delta p=f\Delta t\,.}

i differentiel form er dette ne .tons anden lov; ændringshastigheden for en partikels momentum er lig med den øjeblikkelige kraft F, der virker på den,

f = d p d t . det er en god id..}

Hvis den resulterende kraft oplevet af en partikel ændringer som funktion af tiden, F(t), ændringen i momentum (eller impuls J ) mellem tidspunkterne t1 og t2

Δ s = J = ∫ t 1 t 2 F ( t ) d t . {\displaystyle \Delta p=J=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(t)\,dt\,.,}

Impuls, der er målt i den afledte enheder af newton andet (1 N⋅s = 1 kg⋅m/s) eller dyne andet (1 dyne⋅s = 1 g⋅cm/s)

Under antagelse af konstant masse m, det svarer til at skrive

F = d ( m v ) d t = m d v d t = m , {\displaystyle F={\frac {d(mv)}{dt}}=m{\frac {dv}{dt}}=ma,}

derfor er den resulterende kraft er lig massen af den partikel gange acceleration.

Eksempel: En model flyvemaskine af massen 1 kg accelererer fra resten til en hastighed på 6 m/s på grund nord i 2 s. Den resulterende kraft, der kræves for at producere denne acceleration er 3 newton på grund nord., Ændringen i momentum er 6 kg m m / s ret nord. Hastigheden for ændring af momentum er 3 (kg⋅m/s) / s ret nord, som er numerisk svarende til 3 Ne .ton.

bevarelse

i et lukket system (et, der ikke udveksler noget stof med dets omgivelser og ikke påvirkes af eksterne kræfter) er det samlede momentum konstant. Denne kendsgerning, kendt som loven om bevarelse af momentum, er underforstået af Ne .tons bevægelseslove. Antag for eksempel, at to partikler interagerer. På grund af den tredje lov er kræfterne mellem dem lige og modsatte., Hvis partiklerne er nummereret 1 og 2, hedder det i den anden lov, at F1 = dp1 / dt og F2 = DP2 / dt. Derfor,

d p 1 d t = d p 2 d t {\displaystyle {\frac {dp_{1}}{dt}}=-{\frac {dp_{2}}{dt}},}

med negativt fortegn angiver, at de kræfter, der er imod. Ækvivalent,

d d t ( p 1 + p 2 ) = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\venstre (p_{1}+p_{2}\højre)=0.}

Hvis partiklernes hastigheder er u1 og u2 før interaktionen, og bagefter er de v1 og v2, så

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 V 2 . {\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.,}

denne lov holder uanset hvor kompliceret kraften er mellem partikler. Tilsvarende, hvis der er flere partikler, tilføjes momentumet, der udveksles mellem hvert par partikler, til nul, så den samlede ændring i momentum er nul. Denne bevaringslov gælder for alle interaktioner, herunder kollisioner og adskillelser forårsaget af eksplosive kræfter. Det kan også generaliseres til situationer, hvor ne .tons love ikke holder, for eksempel i relativitetsteorien og i elektrodynamik.,

Afhængighed af referenceramme

Momentum er en målbar mængde, og målingen afhænger af observatørens bevægelse., For eksempel: hvis et æble sidder i en glashejs, der falder ned, ser en ekstern observatør, der kigger ind i elevatoren, æblet bevæge sig, så til den observatør har æblet et ikke-nul momentum. Til nogen inde i elevatoren bevæger æblet sig ikke, så det har nul momentum. De to observatører har hver en referenceramme, hvor de observerer bevægelser, og hvis elevatoren falder støt, vil de se adfærd, der er i overensstemmelse med de samme fysiske love.

Antag, at en partikel har position.i en stationær referenceramme., Fra et andet referencerammes synspunkt, der bevæger sig med en ensartet hastighed u, ændres positionen (repræsenteret af en primet koordinat) med tiden som

. ‘ = = − u t. {\displaystyle\ ‘ = = -ut\,.}

dette kaldes en Galileisk transformation. Hvis partiklen bevæger sig med hastighed d./dt = v i den første referenceramme, i den anden bevæger den sig med hastighed

v ‘= d. ‘ d t = v − u. {\displaystyle v’={\frac {d.’} {dt}}=v-u\,.}

da u ikke ændrer sig, er accelerationerne de samme:

a ‘= d v ‘ d t = a . det er en god id., at du har brug for det.,}

således bevares momentum i begge referencerammer. Så længe kraften har den samme form, er Ne .tons anden lov uændret i begge rammer. Kræfter som ne .tonsk tyngdekraft, som kun afhænger af den skalære afstand mellem objekter, opfylder dette kriterium. Denne uafhængighed af referenceramme kaldes ne .tonsk relativitet eller Galileisk invariance.

en ændring af referencerammen, kan ofte forenkle beregninger af bevægelse. For eksempel i en kollision af to partikler kan en referenceramme vælges, hvor en partikel begynder i ro., En anden, almindeligt anvendt referenceramme, er midten af masserammen – en, der bevæger sig med massens centrum. I denne ramme er det samlede momentum nul.

anvendelse på kollisioner

i sig selv er loven om bevarelse af momentum ikke nok til at bestemme partiklernes bevægelse efter en kollision. En anden egenskab af bevægelsen, kinetisk energi, skal være kendt. Dette er ikke nødvendigvis bevaret. Hvis det er bevaret, kaldes kollisionen en elastisk kollision; hvis ikke, er det en uelastisk kollision.,

Elastiske kollisioner

En elastisk kollision er der ingen kinetisk energi, der absorberes i kollisionen. Perfekt elastiske” kollisioner ” kan forekomme, når objekterne ikke rører hinanden, som for eksempel ved atomisk eller nuklear spredning, hvor elektrisk afstødning holder dem fra hinanden., En slangebøsse manøvre af en satellit omkring en planet kan også ses som en perfekt elastisk kollision. En kollision mellem to poolbolde er et godt eksempel på en næsten fuldstændig elastisk kollision på grund af deres høje stivhed, men når kroppe kommer i kontakt, er der altid en vis spredning.

en elastisk kollision på hovedet mellem to legemer kan repræsenteres af hastigheder i en dimension langs en linje, der passerer gennem legemerne., Hvis hastighed er u1 og u2 før kollisionen og v1 og v2 efter, de ligninger, der udtrykker bevarelse af impuls og kinetisk energi er:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m-1 v 1 + m 2 v 2 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 . {\displaystyle {\begin{justeret}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\,.\end{aligned}}}

en ændring af referencerammen kan forenkle analysen af en kollision., Antag for eksempel, at der er to legemer med samme masse m, en stationær og en nærmer sig den anden med en hastighed v (som i figuren). Massens centrum bevæger sig med hastighed v/2, og begge kroppe bevæger sig mod det med hastighed v / 2. På grund af symmetrien skal begge efter kollisionen bevæge sig væk fra massens centrum med samme hastighed. Når vi tilføjer hastigheden i massecentret til begge, finder vi, at kroppen, der bevægede sig, nu er stoppet, og den anden bevæger sig væk med hastighed v. kropperne har udvekslet deres hastigheder., Uanset kroppens hastigheder fører en s .itch til midten af masserammen os til den samme konklusion. Derfor er de endelige hastigheder givet ved

v 1 = u 2 V 2 = u 1 . {\displaystyle {\begin{justeret}v_{1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}\,.,\end{justeret}}}

I almindelighed, når den første er hastigheden er kendt, kan den endelige hastighed er givet ved

v-1 = ( m 1 − m 2, m 1 + m 2 ) u 1 + ( 2 m-2 m 1 + m 2 ) u 2 {\displaystyle v_{1}=\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}+\left({\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}\,} v 2 = ( m 2 − m 1 m 1 + m 2 ) x 2 + ( 2 m 1 m 1 + m 2 ) u 1 . {\displaystyle v_{2}=\left({\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}+\left({\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}\,.,}

Hvis en krop har meget større masse end den anden, vil dens hastighed blive lidt påvirket af en kollision, mens den anden krop vil opleve en stor forandring.

Uelastisk sammenstød

I en inelastisk sammenstød, nogle af den kinetiske energi af de kolliderende legemer er omdannet til andre former for energi (såsom varme eller lyd)., Som eksempler kan nævnes trafik kollisioner, hvor virkningen af tab af kinetisk energi, der kan ses i skader på køretøjer; elektroner miste en del af deres energi til atomer (som i Franck–Hertz eksperiment), og partikelacceleratorer, hvor den kinetiske energi omdannes til masse i form af nye partikler.

i en perfekt uelastisk kollision (såsom en bug, der rammer en forrude), har begge kroppe den samme bevægelse bagefter. En head-on uelastisk kollision mellem to legemer kan repræsenteres af hastigheder i en dimension langs en linje, der passerer gennem legemerne., Hvis hastighederne er u1 og u2 før kollisionen, vil begge kroppe i en perfekt uelastisk kollision rejse med hastighed v efter kollisionen. Ligningen udtrykker bevarelse af momentum er:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = ( m 1 + m 2 ) v . {\displaystyle {\begin{justeret}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,.\end{aligned}}}

Hvis en krop er ubevægelig til at begynde med (f. eks., u 2 = 0 {\displaystyle u_{2}=0} ), ligningen for bevarelse af impuls er

m 1 u 1 = ( m 1 + m 2 ) v {\displaystyle m_{1}u_{1}=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,,}

så

v = m 1, m 1 + m 2 u 1 . {\displaystyle v={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}\,.}

i en anden situation, hvis referencerammen bevæger sig med den endelige hastighed, således at v = 0 {\displaystyle v=0}, vil objekterne blive bragt til hvile ved en perfekt uelastisk kollision, og 100% af den kinetiske energi omdannes til andre former for energi., I dette tilfælde ville kroppenes indledende hastigheder være ikke-nul, eller kroppene skulle være masseløse.

et mål for kollisionens uelasticitet er restitutionskoefficienten CR, defineret som forholdet mellem relativ separationshastighed og relativ indflyvningshastighed. Ved at anvende denne foranstaltning på en bold, der hopper fra en fast overflade, kan dette let måles ved hjælp af følgende formel:

C R = bounce height drop height . {\displaystyle C_{\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{hoppe højde}}{\text{faldhøjde}}}}\,.,}

momentum-og energiligningerne gælder også for bevægelser af objekter, der begynder sammen og derefter bevæger sig fra hinanden. For eksempel er en eksplosion resultatet af en kædereaktion, der omdanner potentiel energi opbevaret i kemisk, mekanisk eller nuklear form til kinetisk energi, akustisk energi og elektromagnetisk stråling. Raketter gør også brug af bevarelse af momentum: drivmiddel presses udad, får fart, og et lige og modsat momentum overføres til raketten.,

Flere dimensioner

Real motion har både retning og hastighed og skal være repræsenteret af en vektor. I et koordinatsystem med axes -, y -, axes-akser har hastighed komponenter V.i direction-retningen, vy i y-retningen, v. i z-retningen., Vektoren er repræsenteret af et dristigt symbol:

v = ( v,, v y, v)). {\displaystyle \ mathbf {v} =\venstre(v_ {{}, v_{y},V_ {right}\højre).}

på samme måde er momentumet en vektormængde og er repræsenteret af et dristigt symbol:

p = ( p., p y , p)). {\displaystyle \ mathbf {p} =\venstre (p_ {{}, p_{y},p_ {right}\højre).}

ligningerne i de foregående afsnit fungerer i vektorform, hvis skalarerne p og v erstattes af vektorer p og v. hver vektorligning repræsenterer tre skalære ligninger., For eksempel repræsenterer

p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }

tre ligninger:

p. = m v. p y = m v y p = = m v.. {\displaystyle {\begin{justeret}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\\p_{z}&=mv_{z}.\end{aligned}}}

de kinetiske energiligninger er undtagelser fra ovenstående erstatningsregel. Ligningerne er stadig endimensionale, men hver skalar repræsenterer størrelsen af vektoren, for eksempel

v 2 = V 2 2 + V y 2 + V 2 2 . {\displaystyle v^{2}=v_ {{}^{2}+v_{y}^{2} + v_ {{}^{2}\,.,}

hver vektorligning repræsenterer tre skalære ligninger. Ofte kan koordinater vælges, så kun to komponenter er nødvendige, som i figuren. Hver komponent kan opnås separat, og resultaterne kombineres for at producere et vektorresultat.

en simpel konstruktion, der involverer midten af masserammen, kan bruges til at vise, at hvis en stationær elastisk kugle rammes af en bevægelig kugle, vil de to afværge vinkelret efter kollisionen (som i figuren).,

Objekter af varierende masse

begrebet momentum spiller en afgørende rolle i at forklare adfærd variable-masse objekter som en raket fjernelse af brændstof eller en stjerne indsamle gas. Ved analyse af et sådant objekt behandler man objektets masse som en funktion, der varierer med tiden: m(t). Fremdriften af objektet på tidspunktet t er derfor p(t) = m(t)v (t)., Man kan så forsøge at påberåbe sig Newtons anden lov om bevægelse ved at sige, at de ydre kraft F på det objekt, der er relateret til dets fremdrift p(t) med F = dp/dt, men dette er forkert, som det er relateret udtryk, fundet ved at anvende produktet regel, at d(mv)/dt:

F = m ( t ) d v d t + v ( t ) d m d t . det er en god id., at du har brug for at vide, hvad du skal gøre.} (forkert)

denne ligning beskriver ikke korrekt bevægelsen af objekter med variabel masse., Den korrekte ligning

F = m ( t) – u-v-u-t − u d m d t {\displaystyle F=m(t){\frac {dv}{dt}}-u{\frac {dm}{dt}},}

hvor u er hastigheden af de skubbes ud/sammen massen som det ses i objektets resten ramme. Dette adskiller sig fra v, som er hastigheden af selve objektet som set i en inertial ramme.

denne ligning er afledt ved at holde styr på både momentum af objektet samt momentum af den udstødte / accreted masse (dm). Når det betragtes sammen, udgør objektet og massen (DM) et lukket system, hvor det samlede momentum bevares.,

P ( t + d t) = (m – D-m) (v + U-v) + U m (V-u) = m v + m-U-v-u D M = P(t ) + m-U-v − U D M {\displaystyle P (t+dt) = (m-dm) (V+dv) + dm(v-U) = mv + mdv-adresseløse forsendelser=P (t) + mdv-adresseløse forsendelser}