Selv om matematikere har brugt over 2.000 år dissekering af strukturen af de fem Platoniske legemer — det tetraeder, terning, octahedron, icosahedron og dodekaeder — der er stadig en masse, vi ikke ved om dem.
nu har en trio af matematikere løst et af de mest grundlæggende spørgsmål om dodecahedronen.antag, at du står i et af hjørnerne af et platonisk fast stof., Er der en lige vej, du kan tage, der i sidste ende ville vende tilbage til dit udgangspunkt uden at passere gennem nogen af de andre hjørner? For de fire platoniske faste stoffer bygget ud af firkanter eller ligesidede trekanter — terningen, tetrahedron, oktaeder og icosahedron — regnede matematikere for nylig ud af, at svaret er nej. Enhver lige sti, der starter fra et hjørne, vil enten ramme et andet hjørne eller vind rundt for evigt uden at vende hjem. Men med dodecahedronen, der er dannet af 12 pentagoner, vidste matematikere ikke, hvad de kunne forvente.,
nu har Jayadev Athreya, David Aulicino og Patrick Hooper vist, at et uendeligt antal sådanne stier faktisk findes på dodecahedronen. Deres papir, der blev offentliggjort i Maj i eksperimentel matematik, viser, at disse stier kan opdeles i 31 naturlige familier.
løsningen krævede moderne teknikker og computeralgoritmer., “For tyve år siden, var helt uden for rækkevidde; for 10 år siden ville det kræve en enorm indsats for at skrive alle de nødvendige software, så først nu alle de faktorer, der kom sammen,” skrev Anton Zorich, af Institut for Matematik Jussieu i Paris, i en e-mail.
projektet begyndte i 2016, når Athreya, fra University of Washington, og Aulicino, på Brooklyn College, begyndte at spille med en samling af karton udskæringer, som kan foldes op i den Platoniske legemer., Da de byggede de forskellige faste stoffer, forekom det Aulicino, at en række nyere undersøgelser af flad geometri måske var lige, hvad de havde brug for for at forstå lige stier på dodecahedronen. “Vi satte bogstaveligt talt disse ting sammen,” sagde Athreya. “Så det var lidt inaktiv udforskning møder en mulighed.”
sammen med Hooper fra City College of ne.York regnede forskerne ud, hvordan man klassificerer alle de lige stier fra det ene hjørne tilbage til sig selv, der undgår andre hjørner.
Deres analyse er “en elegant løsning,” sagde Howard Masur fra University of Chicago., “Det er en af disse ting, hvor jeg uden tøven kan sige:’ godhed, Åh, jeg ville ønske, at jeg havde gjort det!'”
Skjult Symmetrier
Selv om matematikere har spekuleret på, om lige stier på dodekaeder for mere end et århundrede, har der været en genopblussen af interesse i emnet i de seneste år er følgende gevinster i forståelsen af “oversættelse overflader.,”Disse er de overflader, der dannes ved at lime sammen parallelle sider af en polygon, og de har vist sig nyttigt til at studere en bred vifte af emner, der involverer lige stier på figurer med hjørner, fra billard tabel baner til spørgsmålet om, hvornår et enkelt lys, der kan belyse en hel spejlet værelse.
i alle disse problemer er den grundlæggende id.at afrulle din form på en måde, der gør de stier, du studerer, enklere. Så for at forstå lige stier på et platonisk fast stof, kan du starte med at skære åbne nok kanter til at gøre det faste ligge fladt og danne, hvad matematikere kalder et net., Et net til terningen er for eksempel en T-form lavet af seks firkanter.
Forestil dig, at vi har fladt ud dodecahedronen, og nu går vi langs denne flade form i en valgt retning. Til sidst vil vi ramme kanten af nettet, på hvilket tidspunkt vores vej vil hoppe til en anden Femkant (hvilken som helst blev limet til vores nuværende Femkant, før vi åbner dodecahedronen). Når stien humle, roterer den også med nogle multiplum af 36 grader.,
for at undgå alt dette hopping og roterende, når vi rammer en kant af nettet, kunne vi i stedet klæbe på en ny, roteret kopi af nettet og fortsætte lige ind i det. Vi har tilføjet nogle redundans: nu har vi to forskellige femkanter, der repræsenterer hver Femkant på den oprindelige dodecahedron. Så vi har gjort vores verden mere kompliceret – men vores vej er blevet enklere. Vi kan fortsætte med at tilføje et nyt net, hver gang vi har brug for at udvide ud over kanten af vores verden.,
på det tidspunkt, hvor vores sti har rejst gennem 10 net, har vi roteret vores originale net gennem alle mulige multiplum på 36 grader, og det næste net, Vi tilføjer, vil have den samme orientering som det, vi startede med. Det betyder, at dette 11. net er relateret til det originale ved et simpelt Skift — hvad matematikere kalder en oversættelse. I stedet for at lime på et 11.net, kunne vi simpelthen lime kanten af det 10. net til den tilsvarende parallelle kant i det originale net., Vores form vil ikke længere ligge fladt på bordet, men matematikere tænk på det som stadig er “at huske” den flade geometri fra sin tidligere inkarnation — så, for eksempel, stier betragtes som ren, hvis de var lige op i sømmene i form. Når vi har gjort alle sådanne mulige limninger af tilsvarende parallelle kanter, ender vi med det, der kaldes en oversættelsesoverflade.
den resulterende overflade er en meget redundant repræsentation af dodecahedronen med 10 kopier af hver Femkant. Og det er massivt mere kompliceret: det limer op i en form som en doughnut med 81 huller., Ikke desto mindre gjorde denne komplicerede form det muligt for de tre forskere at få adgang til den rige teori om oversættelsesoverflader.
for at tackle denne kæmpe overflade rullede matematikerne ærmerne op — billedligt og bogstaveligt. Efter at have arbejdet på problemet i et par måneder, de indså, at den 81-hul lagkage overflade danner en overflødige repræsentation af ikke bare dodekaeder, men også af en af de mest studerede oversættelse overflader., Kaldes den dobbelte Femkant, den er lavet ved at fastgøre to femkanter langs en enkelt kant og derefter lime sammen parallelle sider for at skabe en to-hulet donut med en rig samling symmetrier.
denne form blev også tatoveret på Athreya ‘ s arm. “Den dobbelte pentagon var noget, som jeg allerede vidste og elskede,” sagde Athreya, der fik tatoveringen et år før han og Aulicino begyndte at tænke på dodecahedronen.
fordi den dobbelte femkant og dodecahedronen er geometriske fætre, kan førstnævnte høje grad af symmetri belyse strukturen af sidstnævnte., Det er en” fantastisk skjult symmetri, ” sagde Ale.Eskin fra University of Chicago (som var Athreyas doktorrådgiver for omkring 15 år siden). “Det faktum, at dodecahedronen har denne skjulte symmetrigruppe, synes jeg, er ganske bemærkelsesværdig.”