Laplacian Matri.

Laplacian Matri. kan fortolkes som en Matri representation repræsentation af et bestemt tilfælde af den diskrete Laplace operatør. En sådan fortolkning tillader en, f.eks. at generalisere Laplacian Matri. i tilfælde af grafer med et uendeligt antal knudepunkter og kanter, der fører til en Laplacian Matri. af en uendelig størrelse.

d ϕ i d t = − k ∑ j A j ( jeg ϕ − ϕ j ) = − k ( ϕ jeg ∑ j i j − ∑ j A j ϕ j ) = − k ( ϕ jeg gr ⁡ ( v i ) − ∑ j A j ϕ j ) = − k ∑ j (∆i j gr ⁡ ( v i ) − A i j ) ϕ j = − k ∑ j ( g ar jeg j ) ϕ j ., {\displaystyle {\begin{justeret}{\frac {d\phi _{i}}{dt}}&=-k\am _{j}A_{ij}\left(\phi _{i}-\phi _{j}\right)\\&=-k\left(\phi _{i}\am _{j}A_{ij}-\am _{j}A_{ij}\phi _{j}\right)\\&=-k\left(\phi _{i}\ \deg(v_{jeg})-\jeg _{j}A_{ij}\phi _{j}\right)\\&=-k\am _{j}\left(\delta _{ij}\ \deg(v_{jeg})-A_{ij}\right)\phi _{j}\\&=-k\am _{j}\left(\ell _{ij}\right)\phi _{j}.,\end{justeret}}}

I matrix-vektor-notation

d ϕ d t = − k ( D − A ) ϕ = − k L ϕ , {\displaystyle {\begin{justeret}{\frac {d\phi }{dt}}&=-k(D-A)\phi \\&=-kL\phi ,\end{justeret}}}

giver

d ϕ d t + k L ϕ = 0. {\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}+kL\phi =0.}

Bemærk, at denne ligning har samme form som varmeligningen, hvor Matri the-L erstatter den Laplacianske operatør 2 2 {\te .tstyle \ nabla ^{2}} ; Derfor “graf Laplacian”.,

0 = d ( ∑ k i ( t ) v i ) d t + k L ( ∑ k i ( t ) v i ) = ∑ i = ∑ i ⇒ u k i ( t ) d t + k λ k i ( t ) = 0 , {\displaystyle {\begin{justeret}0=&{\frac {d\left(\sum _{i}c_{jeg}(t)\mathbf {v} _{i}\right)}{dt}}+kL\left(\sum _{i}c_{jeg}(t)\mathbf {v} _{i}\right)\\=&\sum _{i}\left\\=&\sum _{i}\left\\\Rightarrow &{\frac {dc_{jeg}(t)}{dt}}+k\lambda _{i}c_{jeg}(t)=0,\\\end{justeret}}}

hvis løsning er

k i ( t ) = k ( 0 ) e − k λ t . {\displaystyle c_{i}(t)=C_{i}(0)e^{-k\lambda _{i}t}.,} c i ( 0) = =(0 ) , V i {{\displaystyle C_ {i} (0) = \venstre\langle \Phi (0),\mathbf{v} _{i}\højre\rangle } .

i tilfælde af undirected grafer fungerer dette, fordi L {\te .tstyle L} er symmetrisk, og ved spektral sætningen er dens egenvektorer alle ortogonale. Så projektionen på eigenvectors af L {\te .tstyle L} er simpelthen en ortogonal koordinattransformation af den oprindelige tilstand til et sæt koordinater, der forfalder eksponentielt og uafhængigt af hinanden.,

Ligevægt behaviorEdit

lim t → ∞ e − k λ t = { 0, hvis λ jeg > 0 1 hvis λ i = 0 } {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{-k\lambda _{i}t}=\left\{{\begin{array}{rlr}0&{\text{hvis}}&\lambda _{i}>0\\1&{\text{hvis}}&\lambda _{i}=0\end{array}}\right\}}

med andre ord, ligevægtstilstand af systemet bestemmes helt af kernen af L {\textstyle L} .,

konsekvensen af dette er, at for en given oprindelige tilstand, c ( 0 ) {\textstyle c(0)) for en graf med N {\textstyle N} vertices

lim t → ∞ ϕ ( t ) = april k ( 0 ) , v 1 dansk værre, tærte v 1 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\phi (t)=\left\langle c(0),\mathbf {v^{1}} \right\rangle \mathbf {v^{1}} }

hvor

v 1 = 1 N {\displaystyle \mathbf {v^{1}} ={\frac {1}{\sqrt {N}}}} lim t → ∞ ϕ j ( t ) = 1 N ∑ i = 1 N ( 0 ) {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\phi _{j}(t)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}c_{jeg}(0)} .,

med andre ord, ved steady state konvergerer værdien af {{\te .tstyle \phi } til den samme værdi ved hver af grafens hjørner, hvilket er gennemsnittet af de oprindelige værdier ved alle hjørnerne. Da dette er løsningen på varmediffusionsligningen, giver dette perfekt mening intuitivt. Vi forventer, at naboelementer i grafen vil udveksle energi, indtil den energi er jævnt fordelt over alle de elementer, der er forbundet med hinanden.,

Eksempel på, at operatøren på en gridEdit

dette afsnit viser et eksempel på en funktion {{\te .tstyle \phi } diffunderer over tid gennem en graf. Grafen i dette eksempel er konstrueret på et 2D diskret gitter, med punkter på gitteret forbundet til deres otte naboer. Tre indledende punkter er angivet til at have en positiv værdi, mens resten af værdierne i nettet er nul. Over tid virker det eksponentielle forfald for at fordele værdierne på disse punkter jævnt over hele nettet.

den komplette Matlab-kildekode, der blev brugt til at generere denne animation, er angivet nedenfor., Det viser processen med at specificere indledende betingelser, projicere disse oprindelige betingelser på egenværdierne af den Laplacianske Matri.og simulere det eksponentielle henfald af disse projicerede indledende betingelser.