Kvadrerede afvigelser fra middelværdien

I den situation, hvor data er til rådighed for k forskellige behandling grupper, som har størrelsen ni, hvor jeg varierer fra 1 til k, så det antages, at den forventede middelværdi for hver gruppe

E ⁡ ( m i ) = μ + T-i {\displaystyle \operatorname {E} (\mu _{i})=\mu +T_{jeg}}

og varians for hver behandlingsgruppe er uændret i forhold til befolkningen varians σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} .,

Under nulhypotesen om, at behandlingerne ikke har nogen virkning, vil hver af T i {\displaystyle T_{I}} være nul.,i ) {\displaystyle T=\sum _{i=1}^{k}\left(\left(\sum x\right)^{2}/n_{i}\right)} E ⁡ ( T ) = k og σ 2 + ∑ i = 1 k n ( μ + T i ) 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+\sum _{i=1}^{k}n_{jeg}(\mu +T_{jeg})^{2}} E ⁡ ( T ) = k og σ 2 + n μ 2 + 2 μ ∑ i = 1 k ( n, T ) + ∑ i = 1 k n i ( T i ) 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}+2\mu \sum _{i=1}^{k}(n_{jeg}T_{jeg})+\sum _{i=1}^{k}n_{jeg}(T_{jeg})^{2}}

Under nulhypotesen, at de behandlinger, der ikke giver anledning til forskelle og alle de T-i {\displaystyle T_{jeg}} er nul, er forventningen om, at forenkler

E ⁡ ( T ) = k og σ 2 + n μ 2 ., {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}.,C)=\sigma ^{2}+n\mu ^{2}}

Summer af de kvadrerede deviationsEdit

E ⁡ ( I − K ) = ( n − 1 ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (I-K)=(n-1)\sigma ^{2}} samlede kvadrerede afvigelser aka samlede sum af kvadrater E ⁡ ( T − K ) = ( k − 1 ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T-K)=(k-1)\sigma ^{2}} behandling kvadrerede afvigelser aka forklaret sum af kvadrater E ⁡ ( jeg − T ) = ( n − k ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (it)=(n-k)\sigma ^{2}} resterende kvadrerede afvigelser aka resterende sum af kvadrater

konstanter (n − 1), (k − 1), og (n − k) er normalt betegnes som det antal grader af frihed.,

Eksempelredit

i et meget simpelt eksempel opstår 5 observationer fra to behandlinger. Den første behandling giver tre værdier 1, 2 og 3, og den anden behandling giver to værdier 4 og 6.

jeg = 1 2 1 + 2 2 1 + 3 2 1 + 4 2 1 + 6 2 1 = 66 {\displaystyle I={\frac {1^{2}}{1}}+{\frac {2^{2}}{1}}+{\frac {3^{2}}{1}}+{\frac {4^{2}}{1}}+{\frac {6^{2}}{1}}=66} T = ( 1 + 2 + 3 ) 2 3 + ( 4 + 6 ) 2 2 = 12 + 50 = 62 {\displaystyle T={\frac {(1+2+3)^{2}}{3}}+{\frac {(4+6)^{2}}{2}}=12+50=62} C = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 6 ) 2 5 = 256 / 5 = 51.2 {\displaystyle C={\frac {(1+2+3+4+6)^{2}}{5}}=256/5=51.,2}

giver

samlede kvadrerede afvigelser = 66 − 51,2 = 14,8 med 4 frihedsgrader. Behandling kvadrerede afvigelser = 62-51,2 = 10,8 med 1 grad af frihed. Resterende kvadrerede afvigelser = 66-62 = 4 med 3 frihedsgrader.

To-vejs analyse af varianceEdit

følgende hypotetiske eksempel giver udbytter på 15 planter underlagt to forskellige miljømæssige varianter, og tre forskellige gødninger.,

Fem summer af kvadrater, der er beregnet således:

Endelig, det summer af de kvadrerede afvigelser, der kræves til analyse af variansen kan beregnes.,