anvendelse af den eksponentielle vindue funktion er første tilskrives Poisson som en forlængelse af en numerisk analyse teknik fra det 17. århundrede, og senere vedtaget af de signalbehandling samfund i 1940’erne. Her, eksponentiel udjævning, er anvendelsen af eksponentiel, eller Poisson -, vindues-funktion. Eksponentiel udjævning blev først foreslået i den statistiske litteratur uden henvisning til tidligere arbejde af Robert Goodell Brun i 1956, og derefter udvidet af Charles C. Holt i 1957., Formuleringen nedenfor, som er den almindeligt anvendte, tilskrives bro .n og er kendt som “bro .ns enkle eksponentielle udjævning”. Alle metoderne til Holt, Wininters og Bro .n kan ses som en simpel anvendelse af rekursiv filtrering, der først blev fundet i 1940 ‘ erne for at konvertere finite impulse response (FIR) filtre til uendelige impulsresponsfiltre.
den enkleste form for eksponentiel udjævning er givet ved formlen:
s t = α t T + ( 1 − α ) s t − 1 = s t − 1 + α (. t − S t − 1). {\displaystyle s_{t}=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s_{t-1}=s_{t-1}+\alpha (x_{t}-s_{t-1}).,}
hvor {{\displaystyle \ alpha } er udjævningsfaktoren, og 0 0 1 1 1 {\displaystyle 0\le. \alpha \ le. 1}. Med andre ord, den udglattede statistik s t {\displaystyle s_{t}} er et simpelt vægtet gennemsnit af den aktuelle observation x t {\displaystyle x_{t}}, og den forrige udglattede statistik s t − 1 {\displaystyle s_{t-1}} . Enkel eksponentiel udjævning anvendes let, og den producerer en udjævnet statistik, så snart to observationer er tilgængelige.,Udtrykket udglattende faktor, der anvendes til α {\displaystyle \alpha } her er noget af en misvisende, da større værdier af α {\displaystyle \alpha } faktisk reducere niveauet af udglatning, og i grænsetilfældet, α {\displaystyle \alpha } = 1 output-serien er blot den aktuelle observation. Værdier af alpha {\displaystyle \alpha } tæt på en har mindre udjævningseffekt og giver større vægt på nylige ændringer i dataene, mens værdier af {{\displaystyle \alpha } tættere på nul har en større udjævningseffekt og er mindre lydhøre over for nylige ændringer.,
i modsætning til nogle andre udjævningsmetoder, såsom Det enkle glidende gennemsnit, kræver denne teknik ikke noget minimum antal observationer, der skal foretages, før det begynder at give resultater. I praksis opnås imidlertid ikke et” godt gennemsnit”, før flere prøver er blevet gennemsnitligt sammen; for eksempel vil et konstant signal tage cirka 3 / {{\displaystyle 3/\alpha } trin for at nå 95% af den faktiske værdi., For nøjagtigt at rekonstruere det originale signal uden informationstab skal alle stadier af det eksponentielle glidende gennemsnit også være tilgængelige, fordi ældre prøver forfalder eksponentielt i vægt. Dette er i modsætning til et simpelt glidende gennemsnit, hvor nogle prøver kan springes over uden så meget tab af information på grund af den konstante vægtning af prøver inden for gennemsnittet. Hvis et kendt antal prøver vil blive savnet, kan man også justere et vægtet gennemsnit for dette ved at give samme vægt til den nye prøve og alle dem, der skal springes over.,
denne enkle form for eksponentiel udjævning er også kendt som et eksponentielt vægtet glidende gennemsnit (e .ma). Teknisk kan det også klassificeres som en autoregressiv integreret glidende gennemsnit (ARIMA) (0,1,1) model uden konstant sigt.
Tidskonstantedit
= =1 − e − {t/{{\displaystyle \alpha = 1-e^{- \Delta t / \tau }}
hvor Time t {\displaystyle \Delta T} er samplingstiden for den diskrete tidsimplementering., Hvis prøvetagningen er hurtig i forhold til den tid konstant ( Δ T ≪ τ {\displaystyle \Delta T\ll \tau } ), så
α ≈ Δ T τ {\displaystyle \alpha \ca {\frac {\Delta T}{\tau }}}
Valg af den oprindelige glattede valueEdit
Bemærk, at der i definitionen ovenfor, s 0 {\displaystyle s_{0}} bliver initialiseret til x 0 {\displaystyle x_{0}} . Fordi eksponentiel udjævning kræver, at vi på hvert trin har den forrige prognose, er det ikke indlysende, hvordan man starter metoden., Vi kan antage, at den oprindelige prognose er lig med den oprindelige værdi af efterspørgslen; denne tilgang har imidlertid en alvorlig ulempe. Eksponentiel udjævning lægger betydelig vægt på tidligere observationer, så den oprindelige værdi af efterspørgslen vil have en urimeligt stor effekt på tidlige prognoser. Dette problem kan løses ved at lade processen udvikle sig i et rimeligt antal perioder (10 eller mere) og bruge gennemsnittet af efterspørgslen i disse perioder som den oprindelige prognose., Der er mange andre måder at sætte denne oprindelige værdi, men det er vigtigt at bemærke, at den mindre værdi af α {\displaystyle \alpha } , jo mere følsomme din prognose vil være på valg ved denne indledende glattere værdi s 0 {\displaystyle s_{0}} .
optimi .ationedit
for hver eksponentiel udjævningsmetode skal vi også vælge værdien for udjævningsparametrene. For simpel eksponentiel udjævning er der kun en udjævningsparameter (α), men for de metoder, der følger, er der normalt mere end en udjævningsparameter.,
Der er tilfælde, hvor udjævningsparametrene kan vælges på en subjektiv måde – prognosen specificerer værdien af udjævningsparametrene baseret på tidligere erfaringer. En mere robust og objektiv måde at opnå værdier for de ukendte parametre, der indgår i en eksponentiel udjævningsmetode, er imidlertid at estimere dem ud fra de observerede data.,
SSE = ∑ t = 1 T ( y t − y ^ t ∣ t − 1 ) 2 = ∑ t = 1 T e t 2 {\displaystyle {\text{SSE}}=\sum _{t=1}^{T}(y_{t}-{\hat {y}}_{t\mid t-1})^{2}=\sum _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}
i Modsætning til de regression-sagen (hvor vi ikke har formler for direkte at beregne regressions koefficienter, der minimerer SSE) dette indebærer, at en ikke-lineær minimering problem, og vi er nødt til at bruge en optimering værktøj til at udføre dette.
“eksponentiel” namingEdit
navnet ‘eksponentiel udjævning’ tilskrives brugen af den eksponentielle vinduesfunktion under konvolution., Det tilskrives ikke længere Holt, Wininters & bro .n.
Ved direkte substitution af den definerende ligning for simpel eksponentiel udjævning tilbage i sig selv finder vi, at
S t = α t t + ( 1−)) S t − 1 = α .t + ((1−)). t − 1 + (1−)) 2 s t − 2 = + + (1−)) t. 0. {\displaystyle {\begin{justeret}s_{t}&=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s_{t-1}\\&=\alpha x_{t}+\alpha (1-\alpha )x_{t-1}+(1-\alpha )^{2}s_{t-2}\\&=\alpha \left+(1-\alpha )^{t}x_{0}.,othed statistik s t {\displaystyle s_{t}} bliver det vægtede gennemsnit af et større og større antal af de seneste observationer s t − 1 , … , s {\displaystyle s_{t-1},\ldots ,s_{t-}} , og de vægte, der er tildelt til tidligere observationer i forhold til vilkårene i geometrisk progression 1 , ( 1 − α ) , ( 1 − α ) 2 , … , ( 1 − α ) n , … {\displaystyle 1,(1-\alpha ),(1-\alpha )^{2},\ldots ,(1-\alpha )^{n},\ldots }
En geometrisk progression er den diskrete version af en eksponentiel funktion, så det er her, navnet for denne udjævning metode opstod ifølge Statistikker lore.,
sammenligning med bevægeligt gennemsnitden
eksponentiel udjævning og glidende gennemsnit har lignende defekter ved at indføre en forsinkelse i forhold til inputdataene. Mens dette kan korrigeres ved at flytte resultatet med halvdelen af vindueslængden for en symmetrisk kerne, såsom et glidende gennemsnit eller Gauss, er det uklart, hvor passende dette ville være for eksponentiel udjævning. De har også begge omtrent samme fordeling af prognosefejl, Når α = 2/(k + 1)., De adskiller sig i, at eksponentiel udjævning tager hensyn til alle tidligere data, mens glidende gennemsnit kun tager hensyn til K tidligere datapunkter. Beregningsmæssigt set adskiller de sig også i, at glidende gennemsnit kræver, at de tidligere k-datapunkter eller datapunktet ved lag k + 1 plus den seneste prognoseværdi skal opbevares, mens eksponentiel udjævning kun har brug for den seneste prognoseværdi, der skal opbevares.,
I signalbehandling litteratur, brug af ikke-kausal (symmetrisk) filtre er hverdagskost, og den eksponentielle vindue funktion er stort set brugt på denne måde, men en anden terminologi anvendes: eksponentiel udjævning, svarer det til en første-ordens uendelig-impulse response (IIR) filter og glidende gennemsnit svarer til en finite impulse response filter med lige vægtning af faktorer.