se listen over andre øjeblikke af område for andre former.,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {- b}{2}}}^{\frac {- b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {- b}{2}}}^{\frac {- b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,\mathrm {d} x={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint \grænser _{R}x^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {- b}{2}}}^{\frac {- b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {- b}{2}}}^{\frac {- b}{2}}hx^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {b^{3}t}{12}}\end{justeret}}}
ved Hjælp af den lodrette akse sætning får vi værdien af J z {\displaystyle J_{z}} .,
J z = I x + I y = b h 3 12 + h b 3 12 = b h 12 ( b 2 + h 2 ) {\displaystyle J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+t^{2}\right)}
Annulus centreret på originEdit
Annulus med indre radius r1 og ydre radius r2
Overvej en cirkelring, hvis centrum er i oprindelseslandet, uden radius er r 2 {\displaystyle r_{2}} , og inde radius er r-1 {\displaystyle r_{1}} . På grund af annulusens symmetri ligger centroid også ved oprindelsen., Vi kan bestemme det polære inertimoment, J {{\displaystyle J_ {{}}, om axis {\displaystyle axis} – aksen ved hjælp af sammensatte former. Det polære inertimoment svarer til de polare inertimoment af en cirkel med radius r 2 {\displaystyle r_{2}} minus polære inertimoment af en cirkel med radius r-1 {\displaystyle r_{1}} , begge centreret i oprindelseslandet. Lad os først udlede det polære inertimoment i en cirkel med radius r {\displaystyle r} med hensyn til oprindelsen., I dette tilfælde er det lettere at beregne J {{\displaystyle J_ {{}} direkte , da vi allerede har R 2 {\displaystyle r^{2}}, som både har en component {\displaystyle component} og Y {\displaystyle y} komponent. I stedet for at få det andet øjeblik i området fra kartesiske koordinater som gjort i det foregående afsnit, beregner vi i {{\displaystyle i_ {.}} og J {{\displaystyle J_ {.}} direkte ved hjælp af polære koordinater.,b3be53f037″>
=\iint \grænser _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{f}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{f}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{justeret}}}
Nu, det polære inertimoment om z {\displaystyle z} akse for en annulus er blot, som nævnt ovenfor, er forskellen i den anden øjeblikke af arealet af en cirkel med radius r 2 {\displaystyle r_{2}} og en cirkel med radius r-1 {\displaystyle r_{1}} .,
J z = J z , r 2 − J z , r-1 = π 2 r, 2 4 − π 2 r 1 4 = π 2 ( r 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle J_{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}
Alternativt, kan vi ændre grænserne for de d r {\displaystyle \mathrm {d} r} integreret første gang rundt for at afspejle det faktum, at der er et hul. Dette ville blive gjort sådan.,r 2 r 2 ( r d r d θ ) = ∫ 0 2 π – ∫ f 1 f 2 f 3 l r d θ = ∫ 0 2 π d θ = π 2 ( r 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle {\begin{justeret}J_{z}&=\iint \grænser _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{justeret}}}
Nogen polygonEdit
En enkelt polygon., Her er N = 6 {\displaystyle n=6} , notice point ” 7 ” identisk med punkt 1.
Det andet øjeblik af området om oprindelsen til en enkelt polygon på XY-plan kan beregnes generelt ved at summere bidragene fra de enkelte segment af polygonen efter at opdele området i en række af trekanter. Denne formel er relateret til snørebåndsformlen og kan betragtes som et specielt tilfælde af greens sætning.en polygon antages at have n {\displaystyle n} hjørner, nummereret mod uret., Hvis polygon-hjørner er nummereret med uret, vil returnerede værdier være negative, men absolutte værdier vil være korrekte.,y i + 1 − x i + 1 y i ) ( x i y i + 1 + 2 x i y i + 2 x i + 1 y i + 1 + x i + 1 y i ) {\displaystyle {\begin{justeret}I_{y}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}