Objem

Objem poměry pro kužel, koule a válec o stejném poloměru a heightEdit

výše uvedených vzorců mohou být použity k ukázat, že objemy kužele, koule a válec o stejném poloměru a výšky jsou v poměru 1 : 2 : 3, a to následovně.,

Nechte poloměr být r a výška h (2r, pro koule), pak objem kužele je

1 3 π r 2 h = 1 3 π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 1 , {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\left(2r\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 1,}

objem koule je

4 3 π r 3 = ( 2 3 π r 3 ) × 2 , {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 2,}

zatímco objem válců

π r 2 v = π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 3., {\displaystyle \ pi r^{2}h= \ pi r^{2} (2R)=\left ({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right) \ times 3.}

objev poměru 2: 3 objemů koule a válce je připsán Archimedesovi.

Objem vzorec derivationsEdit

SphereEdit

objem koule je nedílnou součástí nekonečného počtu nekonečně malé kruhové disky o tloušťce dx. Výpočet objemu koule se středem 0 a poloměrem r je následující.

povrchová plocha kruhového disku je π r 2 {\displaystyle \ pi r^{2}} .,

poloměr kruhové disky, definovány tak, že osa x řezy kolmo přes ně, je to,

y = r 2 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}

nebo

z = r 2 − x 2 {\displaystyle z={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}

, kde y nebo z můžete být přijata reprezentovat poloměr disku, na konkrétní hodnotu x.

pomocí Y jako poloměru disku lze objem koule vypočítat jako

π − r r π Y 2 d x = π-r r π (r 2-x 2) D x. {\displaystyle \int _{-r}^{r}\pi y^{2}\,dx=\int _{-r}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)\,dx.,}

nyní

∫ – r r π r 2 d x − ∫ – r r π x 2 d x = π ( r 3 + r 3) − π 3 ( r 3 + r 3) = 2 π r 3-2 π r 3 3 . {\displaystyle \int _{-r}^{r}\pi r^{2}\,dx-\int _{-r}^{r}\pi x^{2}\,dx=\pi \left(r^{3}+r^{3}\right)-{\frac {\pi }{3}}\left(r^{3}+r^{3}\right)=2\pi r^{3}-{\frac {2\pi r^{3}}{3}}.}

kombinace výnosů v = 4 3 π r 3 . {\displaystyle v={\frac {4}{3}} \ pi r^{3}.}

tento vzorec lze rychleji odvodit pomocí vzorce pro povrchovou plochu koule, což je 4 π r 2 {\displaystyle 4 \ pi r^{2}} ., Objem koule se skládá z vrstev nekonečně tenkých sférických skořápek a objem koule se rovná

∫ 0 r 4 π r 2 d r = 4 3 π r 3 . {\displaystyle \ int _ {0}^{r}4 \ pi r^{2}\, dr={\frac {4}{3}} \ pi r^{3}.}

ConeEdit

kužel je typ pyramidálního tvaru. Základní rovnice pro pyramidy, třetina krát základna krát Nadmořská výška, platí i pro kužely.

pomocí počtu je však objem kužele integrálem nekonečného počtu nekonečně tenkých kruhových disků tloušťky DX., Výpočet objemu kužele výšky h, jehož základna je vystředěna na (0, 0, 0) s poloměrem r, je následující.

poloměr každého kruhového disku je R, Pokud x = 0 a 0, pokud x = h, a mění se lineárně mezi-to znamená

r h-x h . {\displaystyle r {\frac {h-x}{h}}.}

povrchová plocha kruhového disku je pak

π (r h-x h ) 2 = π r 2 ( h − x) 2 h 2 . {\displaystyle \ pi \ left (R {\frac {h-x}{h}} \ right)^{2}=\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2} {H^{2}}}.,}

objem kužele pak může být vypočtena jako

∫ 0 h π r 2 ( h − x ) 2 h 2 d x , {\displaystyle \int _{0}^{h}\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}dx,}

po extrakci konstanty

π r 2 h 2 ∫ 0 h ( h − x ) 2 d x {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}(h-x)^{2}dx}

Integrace nám dává

π r 2 h 2 ( h 3 3 ) = 1 3 π r 2 h . {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\left({\frac {h^{3}}{3}}\vpravo)={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.}

PolyhedronEdit