I když matematici strávili více než 2000 let rozebírá strukturu z pěti platonských těles — čtyřstěn, krychle, osmistěn, dvacetistěn a dvanáctistěn — tam je ještě hodně nevíme o nich.
nyní trojice matematiků vyřešila jednu z nejzákladnějších otázek ohledně dodecahedronu.
Předpokládejme, že stojíte v jednom z rohů platonické pevné látky., Existuje nějaká přímá cesta, kterou byste mohli podniknout, která by vás nakonec vrátila do výchozího bodu, aniž by prošla některým z ostatních rohů? Pro čtyři Platonické pevné látky postavena z náměstí nebo rovnostranného trojúhelníku — krychle, čtyřstěn, osmistěn a dvacetistěn — matematici nedávno zjistil, že odpověď je ne. Jakákoli přímá cesta začínající od rohu zasáhne další roh nebo vítr navždy, aniž by se vrátil domů. Ale s dodecahedronem, který je tvořen 12 pentagony, matematici nevěděli, co očekávat.,
nyní Jayadev Athreya, David Aulicino a Patrick Hooper ukázali, že na dodecahedronu existuje nekonečný počet takových cest. Jejich práce, publikovaná v květnu v experimentální matematice, ukazuje, že tyto cesty lze rozdělit do 31 přírodních rodin.
řešení vyžadovalo moderní techniky a počítačové algoritmy., „Před dvaceti lety, byla naprosto mimo dosah; 10 lety by to vyžadovalo obrovské úsilí psaní veškerý potřebný software, takže pouze nyní všechny faktory, přišli spolu,“ napsal Anton Zorich, z Ústavu Matematiky Jussieu v Paříži, v e-mailu.
projekt začal v roce 2016, kdy Athreya, University of Washington, a Aulicino, z Brooklyn College, začal hrát s kolekcí card stock výřezy, které složit do Platonické pevné látky., Když stavěli různé pevné látky, napadlo Aulicino, že tělo nedávného výzkumu ploché geometrie by mohlo být právě to, co by potřebovali pochopit přímé cesty na dodecahedronu. „Tyto věci jsme doslova dávali dohromady,“ řekla Athreya. „Takže to byl trochu nečinný průzkum splňuje příležitost.“
Spolu s Hooper, ze City College v New Yorku, vědci přišli na to, jak klasifikovat všechny přímé cesty z jednoho rohu zpět k sobě, že vyhnout se další rohy.
jejich analýza je „elegantním řešením,“ řekl Howard Masur z University of Chicago., „Je to jedna z těchto věcí, kde mohu bez váhání říci:“ Bože, Kéž bych to udělal!'“
Skryté Symetrie
i když matematici spekulují o rovné cesty na dvanáctistěn pro více než století, došlo k oživení zájmu o toto téma v posledních letech tyto zisky v porozumění“, překlad povrchy.,“To jsou povrchy tvoří lepení rovnoběžných stran mnohoúhelníku, a oni se ukázaly jako užitečné pro studium široké škály témat týkajících se přímé cesty na tvary s rohy, z kulečníkového stolu trajektorie na otázku, kdy jediné světlo, které může osvětlit celé zrcadlové místnosti.
ve všech těchto problémech je základní myšlenkou rozbalit svůj tvar tak, aby cesty, které studujete, byly jednodušší. Tak, aby pochopili, rovné cesty na Platonické pevné, můžete začít tím, řezání dost otevřené hrany, aby se pevné ležet, tvoří to, co matematici nazývají net., Jednou sítí pro krychli je například tvar T ze šesti čtverců.
Představte si, že jsme vyrovnali dodecahedron a teď jdeme po tomto plochém tvaru nějakým zvoleným směrem. Nakonec narazíme na okraj sítě, v tom okamžiku se naše cesta dostane do jiného pětiúhelníku (podle toho, co bylo přilepeno k našemu současnému pětiúhelníku, než jsme otevřeli dodecahedron). Kdykoli se cesta chmele, také se otáčí o několik násobků 36 stupňů.,
abychom se vyhnuli tomuto poskakování a otáčení, když narazíme na okraj sítě, mohli bychom místo toho přilepit na novou, otočenou kopii sítě a pokračovat přímo do ní. Přidali jsme nějakou redundanci: nyní máme dva různé pentagony představující každý pentagon na původním dodecahedronu. Takže jsme náš svět zkomplikovali-ale naše cesta se zjednodušila. Můžeme přidávat novou síť pokaždé, když potřebujeme expandovat za okraj našeho světa.,
v době, kdy naše cesta cestoval přes 10 sítí, jsme otáčí naše původní síť přes všechny možné více 36 stupňů, a další čisté přidáme, bude mít stejné zaměření jako ten, co jsme začali. To znamená, že tato 11. síť souvisí s původní pomocí jednoduchého posunu – to, co matematici nazývají překladem. Místo lepení na 11. síť bychom mohli jednoduše přilepit okraj 10. sítě na odpovídající paralelní hranu v původní síti., Naše tvar již nebude ležet na stole, ale matematici si to jako ještě „zapamatování“ ploché geometrie z jeho předchozích inkarnací — tak, například, cesty jsou považovány za rovné, pokud jsou přímo v rozklížené tvar. Poté, co uděláme všechny takové možné lepení odpovídajících paralelních okrajů, skončíme s tím, co se nazývá překladový povrch.
výsledný povrch je vysoce redundantní reprezentace dvanáctistěn, s 10 kopií každého pentagonu. A je to mnohem komplikovanější: lepí se do tvaru jako kobliha s 81 otvory., Tento komplikovaný tvar však umožnil třem vědcům přístup k bohaté teorii překladových ploch.
k řešení tohoto obřího povrchu si matematici vyhrnuli rukávy-obrazně a doslova. Poté, co pracoval na problém na pár měsíců, oni si uvědomili, že 81-děravé koblihy povrchu tvoří nadbytečné zastoupení nejen dvanáctistěn, ale také jeden z nejvíce studovaných překlad povrchy., Volal dvojitý pentagon, je vyroben připojením dvou pětiúhelníků podél jednoho okraje a pak lepení rovnoběžných stran vytvořit dvoudírkový kobliha s bohatou kolekci symetrie.
tento tvar byl také vytetován na athreyině paži. „Dvojitý pentagon byl něco, co jsem už znal a miloval,“ řekl Athreya, který dostal tetování rok předtím, než on a Aulicino začali přemýšlet o dodecahedronu.
Protože dvojitý pentagon a dvanáctistěnu jsou geometrické cousins, bývalý vysoký stupeň symetrie může objasnit strukturu druhé., Je to „úžasná skrytá symetrie“, řekl Alex Eskin z University of Chicago (který byl athreyovým doktorským poradcem asi před 15 lety). „Skutečnost, že dodecahedron má tuto skrytou skupinu symetrie, je, myslím, docela pozoruhodná.”