Laplaceova matice

Laplaceova matice může být interpretován jako matrix zastoupení konkrétním případě diskrétního Laplaceova operátoru. Takový výklad umožňuje, např. zobecnit Laplaceova matice případě grafů s nekonečným počtem vrcholů a hran, což vede k Laplaceova matice nekonečné velikosti.

d ϕ i d t = − k ∑ j i j ( ϕ i − ϕ j ) = − k ( ϕ i ∑ j i j − ∑ j i j ϕ j ) = − k ( ϕ já stupňů ⁡ ( v i ) − ∑ j i j ϕ j ) = − k ∑ j ( δ i j deg ⁡ ( v i ) − i j ) ϕ j = − k ∑ j ( ℓ i j ) ϕ j ., {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\phi _{i}}{dt}}&=-k\am _{j}A_{ij}\left(\phi _{i}-\phi _{j}\right)\\&=-k\left(\phi _{i}\am _{j}A_{ij}-\jsem _{j}A_{ij}\phi _{j}\right)\\&=-k\left(\phi _{i}\ \deg(v_{i})-\I _{j}A_{ij}\phi _{j}\right)\\&=-k\am _{j}\left(\delta _{ij}\ \deg(v_{i})-A_{ij}\right)\phi _{j}\\&=-k\am _{j}\left(\ell _{ij}\right)\phi _{j}.,\end{aligned}}}

V matrix-vektorové notaci,

d ϕ d t = − k ( D − A ) ϕ = − k L ϕ , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\phi }{dt}}&=-k(D-A)\phi \\&=-kL\phi ,\end{aligned}}}

, který dává

d ϕ d t + k L ϕ = 0. {\displaystyle {\frac {d \ phi }{dt}} + kL \ phi = 0.}

Všimněte si, že tato rovnice má stejný tvar jako rovnice vedení tepla, kde matice L je nahrazení operátor Laplacián ∇ 2 {\textstyle \nabla ^{2}} ; proto, „graf Laplacián“.,

0 = d ( ∑ i c i ( t ) v i ) d t + k L ( ∑ i c i ( t ) v i ) = ∑ i = ∑ i ⇒ d c i ( t ) d t + k λ i c i ( t ) = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {d\left(\sum _{i}c_{i}(t)\mathbf {v} _{i}\right)}{dt}}+kL\left(\sum _{i}c_{i}(t)\mathbf {v} _{i}\right)\\=&\sum _{i}\left\\=&\sum _{i}\left\\\Rightarrow &{\frac {dc_{i}(t)}{dt}}+k\lambda _{i}c_{i}(t)=0,\\\end{aligned}}}

jejichž řešení je

c i ( t ) = c i ( 0 ) e − k λ i t . {\displaystyle c_{i} (t)=c_{i} (0) E^{-K\lambda _{i}t}.,} c i ( 0 ) = ⟨ ϕ ( 0 ) , v i otázek {\displaystyle c_{i}(0)=\left\langle \phi (0),\mathbf {v} _{i}\right\rangle } .

V případě neorientovaných grafů, to funguje, protože L {\textstyle L} je symetrická a podle spektrální věty, jeho vlastní vektory jsou ortogonální. Tak projekcí na vlastní vektory L {\textstyle L} je pouze ortogonální transformace souřadnic počátečního stavu, aby sada souřadnic, které kazu exponenciálně a nezávisle na sobě.,

Rovnovážné behaviorEdit

lim t → ∞ e − k λ i t = { 0, pokud λ > 0 1, pokud λ i = 0 } {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{-k\lambda _{i}t}=\left\{{\begin{array}{rlr}0&{\text{pokud}}&\lambda _{i}>0\\1&{\text{pokud}}&\lambda _{i}=0\end{array}}\right\}}

jinými slovy, rovnovážný stav systému je určen zcela jádra L {\textstyle L} .,

důsledkem toho je, že pro dané počáteční podmínkou c ( 0 ) {\textstyle c(0)} pro graf s N {\textstyle N} vrcholy

lim t → ∞ ϕ ( t ) = ⟨ c ( 0 ) , v 1 otázek v 1 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\phi (t)=\left\langle c(0),\mathbf {v^{1}} \right\rangle \mathbf {v^{1}} }

, kde

v. 1 = 1 N {\displaystyle \mathbf {v^{1}} ={\frac {1}{\sqrt {N}}}} lim t → ∞ ϕ j ( t ) = 1 N ∑ i = 1 N c i ( 0 ) {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\phi _{j}(t)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}c_{i}(0)} .,

jinými slovy, v ustáleném stavu, hodnota ϕ {\textstyle \phi } konverguje na stejnou hodnotu u každého z vrcholů grafu, což je průměr z počáteční hodnoty na všechny vrcholy. Protože se jedná o řešení rovnice difúze tepla, dává to intuitivně dokonalý smysl. Očekáváme, že sousední prvky v grafu budou vyměňovat energii, dokud nebude tato energie rovnoměrně rozložena ve všech prvcích, které jsou navzájem propojeny.,

Příklad provozovatele na gridEdit

tato část ukazuje příklad funkce ϕ {\textstyle \ phi } rozptýlené v průběhu času grafem. Graf v tomto příkladu je konstruován na 2D diskrétní mřížce s body na mřížce připojenými k jejich osmi sousedům. Tři počáteční body jsou specifikovány tak, aby měly kladnou hodnotu, zatímco ostatní hodnoty v mřížce jsou nulové. V průběhu času exponenciální rozpad působí tak, aby distribuoval hodnoty v těchto bodech rovnoměrně po celé mřížce.

kompletní zdrojový kód Matlab, který byl použit pro generování této animace, je uveden níže., To ukazuje proces určení počáteční podmínky, projektování těchto počátečních podmínek na vlastní čísla a vlastní Laplaceova Matice a simulace exponenciálního rozkladu těchto předpokládaných počátečních podmínek.