Hybnost

hybnost je vektorová veličina: má magnitudu i směr. Vzhledem k tomu, že hybnost má směr, může být použita k předpovědi výsledného směru a rychlosti pohybu objektů poté, co se srazí. Níže jsou popsány základní vlastnosti hybnosti v jedné dimenzi. Vektorové rovnice jsou téměř totožné se skalárními rovnicemi (viz více dimenzí).

jednotlivé částice

hybnost částice je konvenčně reprezentována písmenem p., Je to produkt dvou veličin, hmotnost částice (reprezentovaná písmenem m) a její rychlost (v):

p = m v . {\displaystyle p=mv.}

jednotka hybnosti je součinem jednotek hmotnosti a rychlosti. V jednotkách SI, pokud je hmotnost v kilogramech a rychlost je v metrech za sekundu, je hybnost v kilogramech metrů za sekundu (kg⋅m/s). V jednotkách cgs, pokud je hmotnost v gramech a rychlost v centimetrech za sekundu, je hybnost v gramech centimetrů za sekundu (g⋅cm/s).

je vektor, hybnost má velikost a směr., Například, 1 kg model letadla, cestování na sever rychlostí 1 m/s směr a výšku letu, má hybnost 1 kg⋅m/s, na sever měří s odkazem na zem.

mnoho částic

hybnost systému částic je vektorový součet jejich momenty. Pokud dvě částice mají hmotnostech m1 a m2, a rychlosti v1 a v2, celková hybnost je

p = p 1 + p 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.,\end{aligned}}}}

momenta více než dvou částic může být přidána obecněji pomocí následujícího:

p = ∑ I m i v i . {\displaystyle p= \ sum _{I}m_{i}v_{i}.}

systém částic má těžiště, bod určí váženým součtem jejich pozic:

cm r = m 1 r 1 + m 2 r 2 + ⋯ m 1 + m 2 + ⋯ = ∑ i m i r i ∑ i m i . {\displaystyle r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}r_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}}.,}

Pokud se jedna nebo více částic pohybuje, centrum hmotnosti systému se obecně bude pohybovat také (pokud systém není v čisté rotaci kolem něj). Pokud je celková hmotnost částic m {\displaystyle m} a střed hmoty se pohybuje rychlostí vcm, hybnost systému je:

p = m v cm . {\displaystyle p=mv_ {\text{cm}}.}

toto je známé jako Eulerův první zákon.

vztah k síle

Pokud je čistá síla F aplikovaná na částice konstantní a je aplikována na časový interval Δt, hybnost částice se mění o množství

Δ P = F Δ T., {\displaystyle \ Delta p=F \ Delta T\,.}

v diferenciální podobě je to Newtonův druhý zákon; rychlost změny hybnosti částice se rovná okamžité síle F působící na ni,

F = d p d T. {\displaystyle F={\frac {dp}{dt}.}

Pokud síla zkušený částice změny jako funkci času, F(t), změna hybnosti (nebo impuls J ) mezi časy t1 a t2 je

Δ p = J = ∫ t 1 t 2 F ( t ) d t . {\displaystyle \ Delta p = J= \ int _ {t_{1}}^{t_{2} F(t)\, dt\,.,}

Impulse měří v odvozené jednotky newton sekunda (1 N⋅s = 1 kg⋅m/s) nebo dyne sekundu (1 dyn⋅s = 1 g⋅cm/s)

Za předpokladu konstantní hmotnosti m, je ekvivalentní zápisu

F = d ( m v ) d t = m d v d t = m , {\displaystyle F={\frac {d(mv)}{dt}}=m{\frac {dv}{dt}}=ma,}

tedy síla se rovná hmotnost částice krát jeho zrychlení.

Příklad: model letadla o hmotnosti 1 kg zrychluje z klidu na rychlost 6 m/s, na sever do 2 sekund. Čistá síla potřebná k výrobě tohoto zrychlení je 3 newtonů směrem na sever., Změna hybnosti je 6 kg⋅m/s na sever. Rychlost změny hybnosti je 3 (kg⋅m/s)/S na sever, což je číselně ekvivalentní 3 newtonům.

Zachování

V uzavřeném systému (ten, který nemá exchange jakékoli záležitosti s okolím a není jednal na vnější síly) je celková hybnost je konstantní. Tato skutečnost, známá jako zákon zachování hybnosti, je implikována Newtonovými zákony pohybu. Předpokládejme například, že dvě částice interagují. Kvůli třetímu zákonu jsou síly mezi nimi stejné a opačné., Pokud jsou částice očíslovány 1 a 2, Druhý zákon uvádí, že F1 = dp1/dt A F2 = dp2/dt. Proto,

d p 1 d t = − d p 2 d t , {\displaystyle {\frac {dp_{1}}{dt}}=-{\frac {dp_{2}}{dt}},}

s negativní znamení, což naznačuje, že síly oponovat. Ekvivalentně

d d t (p 1 + p 2 ) = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dt}} \ left (P_{1} + p_{2} \ right)=0.}

pokud jsou rychlosti částic U1 a u2 před interakcí a poté jsou v1 a v2, pak

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}.,}

tento zákon platí bez ohledu na to, jak složitá je síla mezi částicemi. Podobně, pokud existuje několik částic, hybnost vyměňovány mezi každou dvojicí částic přidává až na nulu, takže celková změna hybnosti je nulová. Tento zákon zachování platí pro všechny interakce, včetně kolizí a separací způsobených výbušnými silami. Může být také zobecněn na situace, kdy Newtonovy zákony nedrží, například v teorii relativity a v elektrodynamice.,

závislost na referenčním snímku

hybnost je měřitelné množství a měření závisí na pohybu pozorovatele., Například: pokud jablko sedí ve skleněném výtahu, který sestupuje, vnější pozorovatel, který se dívá do výtahu, vidí jablko pohybující se, takže k tomuto pozorovateli má jablko nenulovou hybnost. Pro někoho uvnitř výtahu se jablko nepohybuje, takže má nulovou hybnost. Oba pozorovatelé mají každý referenční rámec, ve kterém pozorují pohyby, a pokud výtah neustále klesá, uvidí chování, které je v souladu se stejnými fyzickými zákony.

Předpokládejme, že částice má polohu x ve stacionárním referenčním rámci., Z hlediska další referenční rámec, pohybující se konstantní rychlostí u, pozice (reprezentovaný základním nátěrem souřadnice) se mění s časem jako

x ‚ = x − u t . {\displaystyle x ‚ =x-ut\,.}

toto se nazývá galilejská transformace. Pokud se částice pohybuje rychlostí dx / dt = v v prvním referenčním rámci, ve druhém se pohybuje rychlostí

v ‚= D x ‚ d t = v − u . {\displaystyle v ‚={\frac {dx‘} {dt}=v-U\,.}

protože u se nemění, zrychlení je stejné:

A ‚= D v ‚ d t = a . {\displaystyle a ‚={\frac {dv‘} {dt}=a\,.,}

hybnost je tedy zachována v obou referenčních rámcích. Kromě toho, pokud má síla stejnou formu, v obou rámcích se Newtonův druhý zákon nemění. Síly, jako je newtonovská gravitace, které závisí pouze na skalární vzdálenosti mezi objekty, splňují toto kritérium. Tato nezávislost referenčního rámce se nazývá newtonovská relativita nebo galilejská invariance.

změna referenčního rámce může často zjednodušit výpočty pohybu. Například při kolizi dvou částic lze zvolit referenční rámec, kde jedna částice začíná v klidu., Dalším běžně používaným referenčním rámem je střed mass frame – ten, který se pohybuje se středem hmoty. V tomto rámci je celková hybnost nulová.

aplikace na kolize

samotný zákon zachování hybnosti nestačí k určení pohybu částic po kolizi. Musí být známa další vlastnost pohybu, kinetická energie. To nemusí být nutně zachováno. Pokud je zachována, kolize se nazývá elastická kolize; pokud ne, Jedná se o nepružnou kolizi.,

Elastické kolize

Elastické kolize je ten, ve kterém žádná kinetická energie je absorbována v kolizi. Dokonale elastické „kolize“ mohou nastat, když se objekty navzájem nedotýkají, jako například v atomovém nebo jaderném rozptylu, kde je elektrická odpuzování udržuje od sebe., Prakový manévr satelitu kolem planety lze také považovat za dokonale elastickou kolizi. Kolize mezi dvěma koule pool je dobrým příkladem téměř zcela elastické kolize, vzhledem k jejich vysoké tuhosti, ale když naše těla v kontaktu tam je vždy nějaký rozptyl.

čelní elastická kolize mezi dvěma tělesy může být reprezentována rychlostmi v jedné dimenzi podél linie procházející těly., Pokud rychlosti jsou u1 a u2 před srážkou a v1 a v2 po, rovnice vyjadřující zákon zachování hybnosti a kinetické energie jsou:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\,.\end{aligned}}}

změna referenčního rámce může zjednodušit analýzu kolize., Předpokládejme například, že existují dvě těla stejné hmotnosti m, jedna stacionární a jedna se blíží k druhé rychlostí v (jako na obrázku). Střed hmoty se pohybuje rychlostí v / 2 a obě tělesa se k němu pohybují rychlostí v / 2. Kvůli symetrii se po srážce musí oba pohybovat od středu hmoty stejnou rychlostí. Přidáním rychlosti středu hmoty k oběma zjistíme, že tělo, které se pohybovalo, je nyní zastaveno a druhý se pohybuje rychlostí v.těla si vyměnila své rychlosti., Bez ohledu na rychlost těles nás ke stejnému závěru vede přechod do středu hmotnostního rámu. Proto jsou konečné rychlosti dány

v 1 = u 2 v 2 = u 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}\,.,\end{aligned}}}

obecně platí, že při počáteční rychlosti jsou známé, konečné rychlosti jsou dané tím,

v. 1 = ( m 1 − m 2 m 1 + m 2 ) u 1 + ( 2 m 2 m 1 + m 2 ) u 2 {\displaystyle v_{1}=\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}+\left({\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}\,} v 2 = ( m 2 − m 1 m 1 + m 2 ) u 2 + ( 2 m 1 m 1 + m 2 ) u 1 . {\displaystyle v_{2}=\left({\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}+\left({\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}\,.,}

pokud má jedno tělo mnohem větší hmotnost než druhé, jeho rychlost bude srážkou málo ovlivněna, zatímco druhé tělo zažije velkou změnu.

Nepružné srážky

V nepružný ráz, některé kinetické energie srážejících se těles je přeměněna na jiné formy energie (např. tepelné nebo zvukové)., Příklady zahrnují dopravní kolize, v nichž je efekt ztráty kinetické energie může být viděn v poškození vozidla; elektrony ztrácejí některé z jejich energie atomů (jako ve Franck–Hertz experiment) a urychlovače částic, ve kterém se kinetická energie se přemění na hmotu v podobě nových částic.

při dokonale neelastické kolizi (jako je chyba při nárazu čelního skla) mají obě těla stejný pohyb. Čelní neelastická kolize mezi dvěma těly může být reprezentována rychlostmi v jedné dimenzi podél linie procházející těly., Pokud jsou rychlosti U1 a u2 před kolizí, pak při dokonale nepružné kolizi budou obě těla po srážce cestovat rychlostí v. Rovnice vyjadřující zachování hybnosti je:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = (m 1 + m 2) v . {\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,.\end{aligned}}}

je-li jedno tělo nehybné (např., u 2 = 0 {\displaystyle u_{2}=0} ), rovnice pro zachování hybnosti je

m 1 u 1 = ( m 1 + m 2 ) v , {\displaystyle m_{1}u_{1}=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,,}

v = m 1 m 1 + m 2 u 1 . {\displaystyle v={\frac {m_{1}} {m_{1} + m_{2}}} u_{1}\,.}

V jiné situaci, je-li referenční rámec se pohybuje v konečné rychlosti taková, že v = 0 {\displaystyle v=0} , objekty by přinesl k odpočinku po dokonale nepružné srážce, a 100% kinetické energie se přemění na jiné formy energie., V tomto případě by počáteční rychlosti těl byly nenulové, nebo by těla musela být bez hmotnosti.

jedním měřítkem nepružnosti srážky je koeficient restituční CR, definovaný jako poměr relativní rychlosti separace k relativní rychlosti přiblížení. Při použití tohoto opatření na míč, který se odráží od pevného povrchu ,lze toto snadno měřit pomocí následujícího vzorce:

c r = výška odrazu výška pokles výšky. {\displaystyle C_ {\text{r}} = {\sqrt {\frac {\text{bounce height}} {\text{drop height}}}}}\,.,}

rovnice hybnosti a energie platí také pro pohyby objektů, které začínají společně a pak se pohybují od sebe. Například, výbuch je výsledkem řetězové reakce, která přeměňuje potenciální energii uloženou v chemické, mechanické, nebo jaderné formulář na kinetickou energii, akustické energie a elektromagnetického záření. Rakety také využít zákon zachování hybnosti: palivo je vržen ven, nabírá na obrátkách, a stejnou a opačnou impuls je předán do rakety.,

Vícenásobné rozměry

reálný pohyb má směr i rychlost a musí být reprezentován vektorem. V souřadnicovém systému s osami x, y, z má rychlost komponenty VX ve směru x, vy ve směru y, vz ve směru z., Vektor je reprezentován tučným symbolem:

V = (V x , v y , V z ) . {\displaystyle \ mathbf {v} = \ left(v_{x}, v_{y}, V_{z}\right).}

podobně je hybnost vektorovou veličinou a je reprezentována tučným symbolem:

p = (p x , p y , p z ) . {\displaystyle \ mathbf {p} = \ left(p_{x}, p_{y}, P_{z}\right).}

rovnice v předchozích částech pracují ve vektorové formě, pokud jsou skaláry p a v nahrazeny vektory p a v.každá vektorová rovnice představuje tři skalární rovnice., Například,

p = m v, {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }

představuje tři rovnice:

p x = m, v, x, p y = m v y p z = m v z . {\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\\p_{z}&=mv_{z}.\ end{aligned}}}}

rovnice kinetické energie jsou výjimkami z výše uvedeného pravidla nahrazení. Rovnice jsou stále jednorozměrné, ale každý skalár představuje velikost vektoru, například

v 2 = v x 2 + V y 2 + V z 2 . {\displaystyle V^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}\,.,}

každá vektorová rovnice představuje tři skalární rovnice. Souřadnice mohou být často vybrány tak, aby byly potřebné pouze dvě složky, jako na obrázku. Každá složka může být získána samostatně a výsledky jsou kombinovány, aby se vytvořil vektorový výsledek.

jednoduché konstrukce zahrnující těžiště rámu mohou být použity k ukázat, že v případě stacionární elastické oblasti je zasažen pohybující se koule, dva budou mít hlavu v pravém úhlu po srážce (jako na obrázku).,

Objekty proměnné hmotnost

pojem hybnosti hraje zásadní roli při vysvětlování chování proměnná-hmotnost objekty, jako jsou rakety vyjmutí paliva nebo hvězda akreditována plynu. Při analýze takového objektu se zachází s hmotou objektu jako s funkcí, která se mění s časem: m(t). Hybnost objektu v čase t je tedy p (t) = m(t)v (t)., Jeden by pak se snaží vyvolat Newtonův druhý pohybový zákon tím, že vnější síly F na objektu souvisí s jeho hybnost p(t) F = dp/dt, ale to je nesprávné, jako je příbuzný výraz nalezen použití výrobku pravidlo d(mv)/dt:

F = m ( t ) d v d t + v ( t ) d m d t . {\displaystyle F=m (t) {\frac {dv}{dt}} + v (t) {\frac {dm}{dt}}.} (nesprávné)

tato rovnice správně nepopisuje pohyb objektů s proměnnou hmotností., Správná rovnice je

F = m ( t ) d v d t u d m d t , {\displaystyle F=m(t){\frac {dv}{dt}}-u{\frac {dm}{dt}},}

, kde u je rychlost vysunutí/kvasila hmoty, jak je vidět v objektu je zbytek rámu. To je odlišné od v, což je rychlost samotného objektu, jak je vidět v inerciálním rámu.

Tato rovnice je odvozena na základě sledování obou hybnost objektu, stejně jako hybnost katapultoval/kvasila hmoty (dm). Při společném zvažování tvoří objekt a hmotnost (dm) uzavřený systém, ve kterém je zachována celková hybnost.,

P ( t + d t) = (m – D, m) (v + D v) + D m (V-u) = m v + m D v-u D M = P(t ) + m D v − U D M {\displaystyle P (t+dt) = (m-dm) (V+dv) + dm(v-U) = mv + mdv-udm=P (t) + mdv-udm}