použití exponenciální funkce okna je nejprve přičítána Poisson jako rozšíření numerické analýzy techniky od 17. století, a později přijatá zpracování signálu komunity v roce 1940. Tady, exponenciální vyrovnávání je aplikace exponenciální, nebo Poissonovo rozdělení, funkce okna. Exponenciální vyhlazování bylo poprvé navrženo ve statistické literatuře bez citace předchozí práce Roberta Goodella Browna v roce 1956 a poté rozšířeno Charlesem C.Holtem v roce 1957., Níže uvedená formulace, která je běžně používaná, je přičítána Brownovi a je známá jako „Brownovo jednoduché exponenciální vyhlazení“. Všechny metody Holt, Zimy a Hnědé, může být viděn jako jednoduchý aplikace rekurzivní filtrování, poprvé nalezen v roce 1940 převést finite impulse response (FIR) filtry s nekonečnou impulsní odezvy filtrů.
nejjednodušší forma exponenciálního vyhlazování je dána vzorcem:
S t = α x T + (1-α) S t − 1 = S t − 1 + α ( x T − s t − 1). {\displaystyle s_{t}=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s_{t-1}=s_{t-1}+\alpha (x_{t}-s_{t-1}).,}
, kde α {\displaystyle \alpha } je vyhlazovací faktor, a 0 ≤ α ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1} . Jinými slovy, vyhlazené statistika s t {\displaystyle s_{t}} je jednoduchý vážený průměr současných pozorování x t {\displaystyle x_{t}} a předchozí vyhlazené statistika s t − 1 {\displaystyle s_{t-1}} . Jednoduché exponenciální vyhlazování se snadno aplikuje a vytváří vyhlazenou statistiku, jakmile jsou k dispozici dvě pozorování.,Termín vyhlazování faktor aplikován na α {\displaystyle \alpha } tady je něco nesprávného pojmenování, protože větší hodnoty α {\displaystyle \alpha } ve skutečnosti snížit úroveň vyhlazování, a v případě omezení s α {\displaystyle \alpha } = 1 výstup série je jen aktuální pozorování. Hodnoty α {\displaystyle \alpha } blízko mají méně zklidňující účinek a dát větší váhu na nedávné změny v datech, zatímco hodnoty α {\displaystyle \alpha } blíže k nule mají větší zklidňující účinek a jsou méně citlivé na nedávné změny.,
na Rozdíl od některých jiných vyhlazovací metody, jako je jednoduchý klouzavý průměr, tato technika nevyžaduje žádné minimální počet pozorování mají být provedeny před tím, než začne produkovat výsledky. V praxi, nicméně, „dobrý průměr“ nebude dosaženo, dokud několika vzorky byly v průměru dohromady, například, konstantní signál bude trvat přibližně 3 / α {\displaystyle 3/\alpha } fázích dosáhnout 95% skutečné hodnoty., Pro přesnou rekonstrukci původního signálu bez ztráty informací musí být k dispozici také všechny fáze exponenciálního klouzavého průměru, protože starší vzorky exponenciálně klesají. To je na rozdíl od jednoduchého klouzavého průměru, ve kterém mohou být některé vzorky přeskočeny bez stejné ztráty informací v důsledku konstantního vážení vzorků v průměru. Pokud bude vynechán známý počet vzorků, lze také upravit vážený průměr, a to tak, že se nový vzorek a všechny vzorky přeskočí.,
tato jednoduchá forma exponenciálního vyhlazování je také známá jako exponenciálně vážený klouzavý průměr (EWMA). Technicky lze také klasifikovat jako autoregresivní integrovaný klouzavý průměr (ARIMA) (0,1,1) model bez konstantního termínu.
Čas constantEdit
α = 1 − e − Δ T / τ {\displaystyle \alpha =1-e^{-\Delta T/\tau }}
, kde Δ T {\displaystyle \Delta T} je vzorkovací časový interval, diskrétním provedení., Pokud je čas vzorkování je rychle ve srovnání s časovou konstantou ( Δ T ≪ τ {\displaystyle \Delta T\ll \tau } ), pak
α ≈ Δ T τ {\displaystyle \alpha \ca {\frac {\Delta T}{\tau }}}
zvolit počáteční vyhlazené valueEdit
Všimněte si, že v definici výše, s 0 {\displaystyle s_{0}} je inicializován x 0 {\displaystyle x_{0}} . Protože exponenciální vyhlazení vyžaduje, aby v každé fázi jsme měli předchozí prognózu, není zřejmé, jak začít metodu., Dalo by se předpokládat, že počáteční prognóza se rovná počáteční hodnotě poptávky; tento přístup má však vážnou nevýhodu. Exponenciální vyhlazení klade značnou váhu na minulé pozorování, takže počáteční hodnota poptávky bude mít nepřiměřeně velký vliv na časné prognózy. Tento problém lze překonat tím, že proces vyvíjet pro přiměřený počet období (10 nebo více) a pomocí průměrné poptávky během těchto období, jako původní prognóza., Existuje mnoho dalších způsobů nastavení této počáteční hodnotou, ale je důležité si uvědomit, že čím menší je hodnota α {\displaystyle \alpha } , citlivější vaše předpověď bude na výběr z této počáteční hladší hodnoty s 0 {\displaystyle s_{0}} .
OptimizationEdit
pro každou exponenciální metodu vyhlazování musíme také zvolit hodnotu parametrů vyhlazení. Pro jednoduché exponenciální vyhlazení existuje pouze jeden vyhlazovací parametr (α), ale pro metody, které následují, je obvykle více než jeden vyhlazovací parametr.,
existují případy, kdy mohou být vyhlazovací parametry vybrány subjektivním způsobem – prognostik určuje hodnotu vyhlazovacích parametrů na základě předchozích zkušeností. Nicméně, více robustní a objektivní způsob, jak získat hodnoty pro neznámé parametry zahrnuty v každém exponenciální vyrovnávání metody je odhadnout z pozorovaných údajů.,
SSE = ∑ t = 1 T ( y t − y ^ t ∣ t − 1 ) 2 = ∑ t = 1 T t 2 {\displaystyle {\text{SSE}}=\sum _{t=1}^{T}(y_{t}-{\hat {y}}_{t\mid t-1})^{2}=\sum _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}
na Rozdíl od regresní případě (kde máme vzorce se přímo vypočítat regresní koeficienty, které minimalizují SSE) jedná se o nelineární minimalizace problém a musíme použít optimalizační nástroj k provedení tohoto.
“ exponenciální „namingEdit
název „exponenciální vyhlazování“ je přičítán použití exponenciální funkce okna během konvoluce., To již není přičítáno Holt, Winters & Brown.
Pomocí přímé substituce definující rovnice pro jednoduché exponenciální vyrovnávání zpět do sebe, zjistíme, že
y t = α x t + ( 1 − α ) y t − 1 = α x t + α ( 1 − α ) x t − 1 + ( 1 − α ) 2 y t − 2 = α + ( 1 − α ) t x 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s_{t-1}\\&=\alpha x_{t}+\alpha (1-\alpha )x_{t-1}+(1-\alpha )^{2}s_{t-2}\\&=\alpha \left+(1-\alpha )^{t}x_{0}.,jsme statistika s t {\displaystyle s_{t}} se stává váženého průměru větší a větší počet minulých pozorování y t − 1 , … , s t − {\displaystyle s_{t-1},\ldots ,s_{t -}} a váhy přiřazené předchozí připomínky jsou úměrné hlediska geometrické progrese 1 , ( 1 − α ) , ( 1 − α ) 2 , … , ( 1 − α ) n , … {\displaystyle 1,(1-\alpha ),(1-\alpha )^{2},\ldots ,(1-\alpha )^{n},\ldots }
geometrická progrese je diskrétní verze exponenciální funkce, takže to je místo, kde název pro toto vyhlazování metodou vznikl podle Statistik tradice.,
srovnání s pohyblivým průměremedit
exponenciální vyhlazování a klouzavý průměr mají podobné vady zavedení zpoždění vzhledem ke vstupním datům. I když to lze napravit posunutím výsledku o polovinu délky okna pro symetrické jádro, jako je klouzavý průměr nebo gaussian, není jasné, jak by to bylo vhodné pro exponenciální vyhlazení. Oba mají také zhruba stejné rozložení chyby prognózy, když α = 2 / (k + 1)., Liší se v tom, že exponenciální vyhlazování bere v úvahu všechna minulá data, zatímco klouzavý průměr bere v úvahu pouze k minulé datové body. Výpočetně řečeno, liší se také v tom, že klouzavý průměr vyžaduje, aby byly zachovány minulé datové body k nebo datový bod lag k + 1 plus nejnovější Hodnota prognózy, zatímco exponenciální vyhlazení potřebuje pouze poslední hodnotu prognózy.,
Ve zpracování signálu literatury, použití non-kauzální (symetrické) filtry je samozřejmostí, a exponenciální funkce okna je široce používán v tímto způsobem, ale jinou terminologii se používá: exponenciální vyrovnávání je ekvivalentní prvního řádu nekonečnou impulsní odezvou (IIR) filtr a klouzavý průměr je ekvivalentní s konečnou impulsní odezvou filtr s stejné váhové faktory.