viz seznam druhých momentů plochy pro jiné tvary.,\mathrm {d}=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,\mathrm {d} x={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint \limits _{R}x^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}hx^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {b^{3}h}{12}}\end{aligned}}}
Pomocí kolmé osy věta dostaneme hodnoty J z {\displaystyle J_{z}} .,
J z = I x + I y = b h 3 12 + h b 3 12 = b h 12 ( b 2 + h 2 ) {\displaystyle J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {h}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)}
Mezikruží se středem originEdit
Mezikruží s vnitřním poloměrem r1 a vnějším poloměru r2
Zvážit mezikruží, jehož střed je v počátku, vnější poloměr je r 2 {\displaystyle r_{2}} , a vnitřní poloměr je r 1 {\displaystyle r_{1}} . Kvůli symetrii prstence leží centroid také na počátku., Můžeme určit polární moment setrvačnosti J z {\displaystyle J_{z}} , o z {\displaystyle z} osa metodou kompozitních tvarů. Tato polární moment setrvačnosti je ekvivalentní polární moment setrvačnosti kruhu s poloměrem r 2 {\displaystyle r_{2}} minus polární moment setrvačnosti kruhu s poloměrem r 1 {\displaystyle r_{1}} , střed v počátku. Nejprve odvodíme polární moment setrvačnosti kružnice s poloměrem r {\displaystyle r} vzhledem k původu., V tomto případě, je jednodušší, aby se přímo vypočítat J z {\displaystyle J_{z}} jak jsme již r 2 {\displaystyle r^{2}} , která má i x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} součásti. Místo toho, aby získání moment setrvačnosti z Kartézských souřadnicích, jak je provedeno v předchozí kapitole, můžeme vypočítat I x {\displaystyle I_{x}} a J z {\displaystyle J_{z}} přímo pomocí polárních souřadnic.,b3be53f037″>
=\iint \limits _{R}r^{2}\,\mathrm {d}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{aligned}}}
Nyní, polární moment setrvačnosti o z {\displaystyle z} osa pro mezikruží je prostě, jak je uvedeno výše, rozdíl druhé momenty plochy kruhu s poloměrem r 2 {\displaystyle r_{2}} a kruhu s poloměrem r 1 {\displaystyle r_{1}} .,
J z = J z , r 2 − J z , r 1 = π 2 r 2 4 − π 2 r 1 4 = π 2 ( r 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle J_{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}
Případně, že bychom mohli změnit limity na d r {\displaystyle \mathrm {d} r} nedílnou napoprvé tak, aby odrážely skutečnost, že tam je díra. Tohle by se dělalo takhle.,r 2 r 2 ( r d r d θ ) = ∫ 0 2 π ∫ r 1 r 2 r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π d θ = π 2 ( r 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}&=\iint \limits _{R}r^{2}\,\mathrm {d}=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}
Žádné polygonEdit
jednoduchý polygon., Zde n = 6 {\displaystyle n = 6}, bod oznámení “ 7 “ je totožný s bodem 1.
druhý moment plochy o původu pro každý jednoduchý polygon v rovině XY lze vypočítat obecně jako součet příspěvků z každého segmentu polygonu po rozdělení oblasti na množinu trojúhelníků. Tento vzorec souvisí se vzorcem tkaničky a lze jej považovat za zvláštní případ Greenovy věty.
předpokládá se, že mnohoúhelník má vrcholy n {\displaystyle n} očíslované proti směru hodinových ručiček., Pokud jsou vrcholy polygonu očíslovány ve směru hodinových ručiček, vrácené hodnoty budou záporné, ale absolutní hodnoty budou správné.,y i + 1 − x i + 1 y i ) ( x i y i + 1 + 2 x i y i + 2 x i + 1 y i + 1 + x i + 1 y i ) {\displaystyle {\begin{aligned}I_{y}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}