Umocňování je matematická operace zahrnující dvě čísla, báze $x$ a exponent $a$. Když $a$ je kladné celé číslo, exponentiace odpovídá opakovanému násobení základny.
podle definice se každé číslo, které má 0 jako jeho exponent, rovná 1. To znamená, že bez ohledu na to, jak velká je základna, pokud se jejich exponent rovná 0, je toto číslo vždy rovno 1.,
každé číslo, které k němu nemá exponent, má ve skutečnosti číslo 1 jako jeho exponent. Číslo 1 je výchozím exponentem každého čísla, takže není nutné jej zapisovat, ale v některých úkolech to může být užitečné.
jeden vynásobený jedním je vždy jeden, bez ohledu na to, kolikrát opakujete násobení, takže 1 na jakýkoli výkon se vždy rovná 1.,
Záporné exponenty
Pokud exponent je celé kladné číslo, umocňování odpovídá opakované násobení základu, tak co to znamená, je-li exponent záporný integer? Reciproční hodnota základny se používá k přeměně negativního exponentu na pozitivní.
$a^{- n}=(A^{-1})^n=\left (\frac{1}{a}\right)^n=\frac{1}{a^n}$
totéž platí opačně. Pokud je ve jmenovateli Neznámý, jmenovatel se může stát čitatelem změnou znaménka exponentu., V některých případech se to ukáže jako velmi užitečná funkce, zejména při práci s inverzními čísly a funkcemi.
Příklad 1: Napište tyto výrazy používají pouze kladné exponenty,
a) $a^{-7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}$
c) $\frac{-12x^{-6}y^{-9}}{z^3}$
Řešení:
a) $a^{-7}=\frac{1}{a^7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}=\frac{-6}{x^1 \cdot y^5}=\frac{-6}{xy^5}$
c) $\frac{-12x^{-6}y^{-9}}{z^3} = \frac{-12}{x^6 \cdot y^9 \cdot z^3}$
Přidání
Jak přidat nebo odečíst exponenty?,
nejzajímavější úkoly zahrnují unkowns, ale platí pro ně stejná pravidla.
Pojďme se podívat na jednoduché rovnici:
Od $\ x = x^1$ a $\ 1 = x^0$ můžeme napsat naši rovnici jako je tato:
Jak by jste normálně vyřešit? Proměnné s $ x$ se přidávají samostatně a Samostatně proměnné bez $ x$.,
The same will apply to larger exponents:
$\ x^{12} + 3 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2} = 4 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2}$
Example 2: Add exponents
Odčítání
stejná pravidla, která platí pro přidání exponenty, se vztahují na odčítání stejně.
můžete odečíst pouze čísla, která mají neznámé se stejným exponentem.
příklad 3: odečtěte exponenty:
$ 4x^{12} – 0, 25 x^4 + 2x^2-3x^2-3x^{12} = ?$
Řešení:
$ (4x^{12} – 3x^{12}) – 0.25\cdot {x^4} + (2x^2 – 3x^2) = x^{12} – 0.25\cdot {x^4} – x^2$
Násobení
Existují dvě základní pravidla pro násobení exponenty.,
První pravidlo – pokud jsou základny stejné, jejich exponenty se sčítají dohromady.
například: $\ 2^{-2} \cdot {2^{-3}} = 2^{- 2 – 3} = 2^{-5} = \left(\frac{1}{2}\right)^5$.
druhé pravidlo-pokud jsou báze odlišné, ale exponenty jsou stejné, báze se násobí a exponenty zůstávají stejné.
například: $\ 2^2 \cdot {3^2} = (2 \cdot {3})^2 = 6^2$.
příklad 4:
$ 2^2 \ cdot {4^2}=?,$
řešení:
pro násobení dvou exponentů musí být jejich základna nebo jejich exponenty stejné. V tomto příkladu tomu tak není. Takže prvním krokem je, kdykoli je to možné, obrátit každé číslo na nejnižší základnu. V tomto příkladu lze číslo $4$ zapsat jako $ 2^2$.
$ 2^2 \ cdot {(2^2)^2} = ?$
čtverec představuje číslo vynásobené samo o sobě $\ (2^2)^2$ lze zapsat jako $ \ 2^2 \ cdot {2^2} = 2^{2 + 2} = 2^4$.,
From Example 4, this generalisation can be made:
Final solution: $\ 2^2 \cdot {4^2}= 2^2 \cdot {(2^2)^2} = 2^2 \cdot {2^4} = 2^{2+4} = 2^6$.
Example 5:
$ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot {0.2^2} = ?,$
Řešení:
$$v=\left (\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left (\frac{2}{10}\right)^2$$
$$v=\left (\frac{2}{3}\right)^2 \cdot\left (\frac{1}{5}\right)^2$$
$$ v= \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}\right)^2 $$
$$ v= \left(\frac{2}{15}\right)^2$$
Příklad 6:
$\ (x^2 y^3)(x^5 y^4 )$
Řešení:
Násobení je asociativní, takže na pořadí závorek nezáleží. Faktory se stejnými základnami se násobí, jak bylo vysvětleno dříve, takže se přidávají jejich exponenty.,
$ (x^2 \cdot y^3)(x^5 \cdot y^4) = x^2 \cdot x^5 \cdot y^3 \cdot y^4 = x^7 \cdot y^7 = (xy)^7$.
Rozdělení
Jako na násobení, existují dvě základní pravidla pro rozdělení exponentů.
První pravidlo – když jsou základny stejné, odečtou se jejich exponenty.
například: $\ 2^2 : 2 = \frac{2^2}{2} = 2^{2 – 1} = 2^1 = 2$, které mohou být snadno kontrolovány od $4 : 2 = 2$.
například: $\ 2^{-2} : 2^{-1} =\frac{2^{-2}}{2^{-1} }= 2^{-2-(-1)} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.,
druhé pravidlo-pokud jsou základny odlišné, ale exponenty jsou stejné, základny jsou rozděleny a exponenty zůstávají stejné.
například: $\ 2^2 : 3^2 = \frac{2^2}{3^2 } = (2 : 3)^2 = \vlevo (\frac{2}{3} \ vpravo)^2$.
příklad 7:
$ \ frac{4^2}{4^3} + \frac{1}{2} = ?$
Řešení:
$\frac{4^2}{4^3} + \frac{1}{2} = 4^{2 – 3} + \frac{1}{2} = 4^{-1} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1 + 2}{4} = \frac{3}{4}$
Příklad 8:
$\frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot {4} + \frac{1}{2} \cdot {2^8} = ?,$
Řešení:
$\frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 2^8 = 4^{5 – (-2)} – \frac{2}{10} \cdot 4 + \frac{2^8}{2^1} = 4^{5 + 2} – \frac{1}{5} \cdot 4 + 2^{8 – 1} = 4^7 – \frac{4}{5} + 2^7$
Příklad 9:
$\frac{18 x^5y^6a^2}{6xy^2a^5} = ?$
Řešení:
$\frac{18 x^5y^6a^2}{6xy^2a^5} = 3x^{5 – 1}y^{6 – 2}^{2 – 5} = 3x^4y^4a^{-3} = \frac{3x^4y^4}{a^3}$
Pokud se, jako v tomto příkladu úkol se týká pouze dělení a násobení, frakce lze rozdělit na dva menší zlomky.,
$\frac{x^2y^3 + x^5y}{xy} = \frac{x^2y^3}{xy} + \frac{x^5y}{xy} = xy^2 + x^4$
Exponents worksheets
Properties of exponents
Numeric expressions (312.6 KiB, 1,893 hits)
Algebraic expressions (450.1 KiB, 1,880 hits)
Basics of exponents
Scientific notation (166.4 KiB, 1,601 hits)
Scientific notation – Write in standard notation (187.,0 KiB, 1,294 hity)
Operace s exponenty
Násobení (195.3 KiB, 1,883 hity)
Divize (197.0 KiB, 1,589 hity)
mocniny (174.1 KiB, 1,819 hity)