Binomialverteilung: Formel, was es ist und wie man es benutzt

Inhalt:

1. Was ist eine Binomialverteilung?
2. Die Bernoulli-Verteilung
3. Die Binomialverteilungsformel
4. Funktionierte Beispiele

Was ist eine Binomialverteilung?,

Eine Binomialverteilung kann einfach als die Wahrscheinlichkeit eines ERFOLGS oder MISSERFOLGS in einem Experiment oder einer Umfrage angesehen werden, die mehrmals wiederholt wird. Das Binom ist eine Art von Verteilung, die zwei mögliche Ergebnisse hat (das Präfix „bi“ bedeutet zwei oder zweimal). Zum Beispiel hat ein Münzwurf nur zwei mögliche Ergebnisse: Kopf oder Zahl und einen Test könnte zwei mögliche Ergebnisse haben: Pass oder Fail.

• Die erste Variable in der Binomialformel n steht für die Häufigkeit, mit der das Experiment ausgeführt wird.
• Die zweite Variable, p, repräsentiert die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses.

Nehmen wir zum Beispiel an, Sie wollten die Wahrscheinlichkeit kennen, eine 1 auf einer Matrizenrolle zu erhalten. wenn Sie einen Würfel 20 Mal rollen würden, beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen Würfel bei einem Wurf zu rollen, 1/6. Rollen Sie zwanzig Mal und Sie haben eine Binomialverteilung von (n=20, p=1/6). ERFOLG wäre “ Roll a one „und MISSERFOLG wäre“ Roll alles andere.,“Wenn das fragliche Ergebnis die Wahrscheinlichkeit wäre, dass der Würfel auf einer geraden Zahl landet, würde die Binomialverteilung dann (n=20, p=1/2). Das liegt daran, dass Ihre Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu werfen, die Hälfte beträgt.

Kriterien

Binomialverteilungen müssen auch die folgenden drei Kriterien erfüllen:

1. Die Anzahl der Beobachtungen oder Versuche ist festgelegt. Mit anderen Worten, Sie können die Wahrscheinlichkeit, dass etwas passiert, nur herausfinden, wenn Sie es eine bestimmte Anzahl von Malen tun. Das ist gesunder Menschenverstand—wenn Sie einmal eine Münze werfen, beträgt Ihre Wahrscheinlichkeit, einen Schwanz zu bekommen, 50%., Wenn Sie eine Münze 20 Mal werfen, ist Ihre Wahrscheinlichkeit, einen Schwanz zu bekommen, sehr, sehr nahe bei 100%.
2. Jede Beobachtung oder Studie ist unabhängig. Mit anderen Worten, keine Ihrer Studien hat einen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit der nächsten Studie.
3. Die Erfolgswahrscheinlichkeit (tails, heads, Fail oder Pass) ist von Versuch zu Versuch exakt gleich.

Sobald Sie wissen, dass Ihre Verteilung binomial ist, können Sie die Binomialverteilungsformel anwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

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Was ist eine Binomialverteilung? Die Bernoulli-Verteilung.

Die Binomialverteilung steht in engem Zusammenhang mit der Bernoulli-Verteilung. Laut Washington State University, “ Wenn jeder Bernoulli-Prozess unabhängig ist, dann hat die Anzahl der Erfolge in Bernoulli Trails eine binomiale Verteilung. Andererseits ist die Bernoulli-Verteilung die Binomialverteilung mit n=1.“

Eine Bernoulli-Distribution ist eine Reihe von Bernoulli-Studien., Jede Bernoulli-Studie hat ein mögliches Ergebnis, ausgewählt aus S, Erfolg oder F, Misserfolg. In jedem Versuch ist die Erfolgswahrscheinlichkeit P(S) = p gleich. Die Ausfallwahrscheinlichkeit beträgt nur 1 abzüglich der Erfolgswahrscheinlichkeit: P (F) = 1 – p. (Denken Sie daran, dass „1“ die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist…die Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen Null und 1). Schließlich sind alle Bernoulli-Studien unabhängig voneinander und die Erfolgswahrscheinlichkeit ändert sich nicht von Versuch zu Versuch, auch wenn Sie Informationen über die Ergebnisse der anderen Studien haben.

Was ist eine Binomialverteilung?, Beispiele aus dem wirklichen Leben

Viele Instanzen von Binomialverteilungen können im wirklichen Leben gefunden werden. Wenn zum Beispiel ein neues Medikament eingeführt wird, um eine Krankheit zu heilen, heilt es entweder die Krankheit (es ist erfolgreich) oder es heilt die Krankheit nicht (es ist ein Versagen). Wenn Sie einen Lottoschein kaufen, gewinnen Sie entweder Geld oder nicht. Grundsätzlich kann alles, was Ihnen einfällt, nur ein Erfolg oder ein Misserfolg durch eine binomiale Verteilung dargestellt werden.,

The Binomial Distribution Formula

The binomial distribution formula is:

b(x; n, P) = nCx * Px * (1 – P)n – x

Where:
b = binomial probability
x = total number of „successes” (pass or fail, heads or tails etc.,)
P = Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem Einzelversuch
n = Anzahl der Versuche

Hinweis: Die Binomialverteilungsformel kann auch etwas anders geschrieben werden, da nCx = n! / x!(n – x)! (diese Binomialverteilungsformel verwendet Factorials (Was ist eine Fakultät?). „q“ in dieser Formel ist nur die Ausfallwahrscheinlichkeit (subtrahieren Sie Ihre Erfolgswahrscheinlichkeit von 1).

Unter Verwendung der ersten Binomialverteilungsformel

Die Binomialverteilungsformel kann die Erfolgswahrscheinlichkeit für Binomialverteilungen berechnen., Oft wird Ihnen gesagt, dass Sie die Zahlen in die Formel „einstecken“ und berechnen sollen. Dies ist leicht zu sagen, aber nicht so einfach—wenn Sie nicht sehr vorsichtig mit der Reihenfolge der Operationen sind, erhalten Sie nicht die richtige Antwort. Wenn Sie einen Ti-83 oder Ti-89 haben, kann der Rechner viel von der Arbeit für Sie tun. Wenn nicht, so zerlegen Sie das Problem in einfache Schritte, damit Sie die richtige Antwort erhalten—jedes Mal.

Beispiel 1

f: Eine Münze wird 10-mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, genau 6 Köpfe zu bekommen?

P(x=6) = 10C6 * 0.5^6 * 0.5^4 = 210 * 0.015625 * 0.0625 = 0.,205078125

Tipp: Mit dem Kombinationsrechner können Sie den Wert für nCx ermitteln.

So arbeiten Sie mit einer Binomialverteilungsformel: Beispiel 2

80% der Personen, die eine Haustierversicherung abschließen, sind Frauen. Wenn 9 Tierversicherungsbesitzer zufällig ausgewählt werden, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 6 Frauen sind.

Schritt 1: Identifizieren Sie ’n‘ aus dem problem. Anhand unserer Beispielfrage ist n (die Anzahl der zufällig ausgewählten Elemente) 9.

Schritt 2: Identifizieren Sie ‚X‘ aus dem problem. X (die Zahl, für die Sie aufgefordert werden, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln) ist 6.,

Schritt 3: Den ersten Teil der Formel bearbeiten. Der erste Teil der Formel ist

n! / (n – X)! X!

Ersetzen Sie Ihre Variablen:

9! / ((9 – 6)! × 6!)

Was 84 entspricht. Legen Sie diese Nummer für einen Moment beiseite.

Schritt 5: Den zweiten Teil der Formel bearbeiten.

pX
= .86
= .262144

Legen Sie diese Zahl für einen Moment beiseite.

Schritt 6: Den dritten Teil der Formel bearbeiten.

q(n – X)
= .2(9-6)
= .23
= .008

Schritt 7: Multiplizieren Sie Ihre Antwort aus Schritt 3, 5 und 6 zusammen.
84 × .262144 × .008 = 0.176.,

Beispiel 3

60% der Menschen, die Sportwagen kaufen, sind Männer. Wenn 10 Sportwagenbesitzer zufällig ausgewählt werden, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 7 Männer sind.

Schritt 1:: Identifizieren Sie ’n‘ und ‚ X ‚ aus dem Problem. Mit unserer Beispielfrage ist n (die Anzahl der zufällig ausgewählten Artikel—in diesem Fall werden Sportwagenbesitzer zufällig ausgewählt) 10 und X (die Nummer, nach der Sie gefragt werden, um die Wahrscheinlichkeit zu finden) 7.

Schritt 2: Finden Sie den ersten Teil der Formel heraus, nämlich:

n! / (n – X)! X!

Ersetzen der Variablen:

10! / ((10 – 7)! × 7!)

Was 120 entspricht., Legen Sie diese Nummer für einen Moment beiseite.

Schritt 4: Den nächsten Teil der Formel bearbeiten.

pX
= .67
= .0.0279936
Legen Sie diese Zahl beiseite, während Sie den dritten Teil der Formel arbeiten.

Schritt 5: Den dritten Teil der Formel bearbeiten.

q(.4-7)
= .4(10-7)
= .43
= .0.064

Schritt 6: Multiplizieren Sie die drei Antworten aus den Schritten 2, 4 und 5 miteinander.
120 × 0.0279936 × 0.064 = 0.215.

Das war ‚ s!

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